La trasformata di Fourier

è divenuta uno strumento utilissimo in diversi domini della scienza. Il mondo apprese questa tecnica dal barone Jean Baptiste Joseph Fourier, il matematico da cui la trasformata prese il nome.

di  Ronald Bracewell Le Scienze

Per calcolare una trasformata basta ascoltare. L'orecchio segue automaticamente un calcolo che il nostro intelletto può effettuare solo dopo anni di studio della matematica. L'orecchio e segue una trasformata convertendo il suono, cioè le onde di pressione che si spostano nel tempo e nell'atmosfera, in uno spettro, in cui il suono descritto come una serie di volumi alle diverse frequenze. Il cervello trasforma queste informazioni nella percezione di un suono. Operazioni analoghe possono essere eseguite per via matematica sulle onde sonore e virtualmente su qualsiasi altro fenomeno ondulatorio, dalle onde luminose alle maree e ai cicli solari. Questi strumenti matematici possono scomporre le funzioni che rappresentano tali fenomeni ondulatori in un insieme di componenti sinusoidali, curve ondulatorie che passano da un massimo a un minimo di viceversa, più o meno come l'altezza delle onde del mare. La trasformata di Fourier è una funzione che descrive l'ampiezza e la fase delle sinusoidi, ciascuna delle quali corrisponde una sequenza particolare. (L'ampiezza descrive l'altezza della sinusoide; la fase definisce il punto iniziale del ciclo della sinusoide).La trasformata di Fourier è divenuta uno strumento utilissimo in diversi domini della scienza. In certi casi essa offre la possibilità di risolvere le astruse equazioni che descrivono le risposte dinamiche a sollecitazioni elettriche, termiche o luminose. In altri casi serve a identificare le componenti regolari di un segnale ondulatorio, consentendo così di interpretare certe osservazioni in astronomia, medicina chimica. Una caratteristica singolare di Fourier fu il suo interesse, addirittura ossessivo, per il calore. A casa sua, a Grenoble, la temperatura era così alta che spesso i visitatori se ne lamentavano. Per di più Fourier e si avvolgeva in abiti pesanti.  Forse allettato dalla prospettiva del clima caldo, nel 1798 Fourier decise di unirsi al gruppo di 165 dotti che accompagnavano Napoleone nella spedizione in Egitto.
Mentre Napoleone combatteva contro i siciliani in Palestina, cacciava i turchi dall'Egitto e inseguiva il capo dei mamelucchi, Murad Bey, gli scienziati francesi intraprendevano ambiziosi studi di geografia, archeologia, medicina, agricoltura e storia naturale. Fourier fu nominato segretario di un ente scientifico detto Istituto d'Egitto e sbrigò compiti amministrativi con tale competenza che gli furono assegnati molti incarichi diplomatici. Nonostante questi impegni riuscì a svolgere ricerche approfondite sulle antichità egizie e formulare una teoria sulle radici dell'equazioni algebriche. Poco prima che i francesi venissero cacciati dall'Egitto, nel 1801, Fourier e i suoi colleghi salparono per la Francia. L'ammiraglio Sir Sidney Smith, comandante della flotta britannica, catturò subito la loro nave con il suo carico di documenti e reperti egizi. Con la cavalleria tipica di quei tempi, Smith provvede a sbarcare gli scienziati, illesi ad Alessandria. In seguito, il comandante inglese si recò a Parigi e restituì il materiale confiscato, tranne la pietra di Rosetta (chiave dei geroglifici), che oggi si trova British Museum e rappresenta un monumento alla disfatta militare di Napoleone e al suo contributo all'egittologia.
Tornato in Francia relativamente indenne, Fourier divenne docente di analisi all'Ecole Polytechnique e si concentrò sulla matematica, ma nel 1802 tornò di nuovo al servizio di Napoleone, assumendo la carica di prefetto del dipartimento dell'Isère. Nell'intento di porre rimedio ai guasti provocati dalla rivoluzione del 1789, fece costruire il tratto francese della strada per Torino e prosciugare 80.000 km² di paludi malariche. In questo periodo Fourier ricavò un equazione che descriva la conduzione del calore nei solidi. Nel 1807 era in possesso di un metodo per risolvere questa equazione: la trasformata di Fourier
Fourier usò la sua tecnica matematica e spiegare molti casi di conduzione termica. Un esempio particolarmente istruttivo, che non presenta complicazioni computazionali, è la conduzione termica nell'anello di un ancora (l'anello di ferro al quale viene attaccata la catena) si sia stato immerso per metà nel fuoco. Quando parte della circonferenza raggiunge il calor rosso, l'anello viene estratto. Prima che troppo calore venga ceduto all'atmosfera, l'anello viene sepolto in fine sabbia isolante e ne viene misurata la temperatura lungo il profilo esterno.

                                              La temperatura di un anello di ferro

All'inizio la distribuzione della temperatura è irregolare: l'anello è in parte uniformemente freddo e in parte uniformemente caldo; fra le due parti la temperatura fa un brusco salto. Via via che il calore passa per conduzione dalla regione calda a quella fredda, tuttavia, la distribuzione della temperatura comincia a lisciarsi e ben presto assume una forma sinusoidale: la curva della temperatura sale e scende dolcemente e ha una forma a S proprio come le funzioni seno e coseno. Pian piano la sinusoide si appiattisce, in che tutte le parti dell'anello raggiungono la stessa temperatura. Fourier ipotizzò che la distribuzione irregolare iniziale si potesse scomporre in molte sinusoidi semplici, ciascuna con la propria temperatura massima e la propria fase, cioè la posizione relativa lungo la circonferenza. Inoltre, per ogni giro completo dell'anello ciascuna componente sinusoidale variava dal valore massimo a quello minimo e poi a quello massimo un numero intero di volte. La sinusoide con un solo ciclo lungo la circonferenza prese il nome di armonica fondamentale, mentre gli sinusoidi con due o tre cicli o più furono dette rispettivamente seconda e terza armonica o armoniche superiori. La funzione matematica che descrive la temperatura massima e la posizione, o fase, di ciascuna armonica e la trasformata di Fourier della distribuzione di temperatura. Fourier aveva sostituito un'unica distribuzione, difficile da descrivere per via matematica, con una serie e più maneggevole di funzioni seno e coseno (con un numero intero di periodi) le quali, sommate, riproducevano la distribuzione originaria. Applicando questa analisi alla conduzione del calore lungo l'anello, Fourier concluse che quanto maggiore è il numero di periodi di una componente sinusoidale, tanto più rapido sarà il suo smorzamento. È possibile seguire il suo ragionamento considerando la relazione tra la fondamentale e la seconda armonica della distribuzione di temperatura. Lungo la circonferenza dell'anello la temperatura della seconda armonica passo due volte dal caldo al freddo, mentre la fondamentale subisce una sola variazione. Quindi per la seconda armonica e la distanza che il calore deve percorrere per passare dalla cresta calda al ventre freddo è metà rispetto a quanto accade per la fondamentale. Inoltre per la seconda armonica il gradiente di temperatura è doppio di quello per la fondamentale. Poiché un flusso doppio di calore occupa metà distanza, la seconda armonica si smorza quattro volte più rapidamente dell'armonica fondamentale. Le armoniche superiori si smorzano con velocità ancora maggiore. Quindi, via via che la temperatura dell'anello tende all'equilibrio, rimane solo la distribuzione sinusoidale della fondamentale. Fourier era convinto che con la sua tecnica si potesse calcolare l'evoluzione temporale di qualunque distribuzione iniziale di temperatura.
L'analisi di Fourier metteva in discussione le teorie matematiche cui aderivano senza riserve i suoi contemporanei. Molti dei grandi matematici francesi del primo 800, tra cui Lagrange, Laplace, Legendre, Biot e Poisson, si rifiutavano di accettare la tesi di Fourier secondo la quale qualunque distribuzione iniziale di temperatura poteva essere scomposta in una semplice somma aritmetica di un'oscillazione fondamentale e delle sue armoniche superiori. Anche Leonhard Euler era in disaccordo con le idee di Fourier, benché avesse già ipotizzato che alcune funzioni si potessero rappresentare come somma mi sinusoidi. Accadde dunque che, quando Fourier sostenne la sua tesi a una seduta dell'Accademia francese delle scienze, Lagrange si alzò in piedi e la dichiarò impossibile. Nonostante ciò, l'Accademia non poté ignorare la portata dei risultati umili e e gli conferì un premio per la teoria matematica della propagazione termica e per il confronto da lui compiuto fra i risultati della sua teoria e quelli di accurati esperimenti. Il premio tuttavia, gli fu concesso con la seguente riserva:<<La novità della materia, insieme alla sua importanza, ci ha convinto a conferire il premio, ma non possiamo non osservare che il modo in cui l'autore perviene alle sue equazioni non è esente da difficoltà e che il suo metodo analitico per integrarle lascia a desiderare quanto a generalità e anche a rigore>>. Il sospetto con cui i colleghi consideravano il suo lavoro ne ritardò la pubblicazione fino al 1815. Anzi, un resoconto completo comparve solo nel 1822, quando Fourier pubblicò il libro Théorie analytique de la chaleur. Le obiezioni mosse all'impostazione di Fourier riguardavano in particolare l'asserzione che una funzione evidentemente discontinua potesse essere rappresentata come somma di sinusoidi, che sono funzioni continue. Le funzioni discontinue descrivono curve o rette spezzate; per esempio, la funzione detta gradino di Heaviside vale zero a sinistra e salta al valore e uno a destra. (Con una funzione siffatta si può descrivere il flusso della corrente quando viene chiuso un interruttore.) Per i contemporanei di Fourier era cosa mai vista che una funzione discontinua risultasse dalla combinazione di funzioni continue ordinarie, per esempio funzioni lineari, quadratiche, esponenziali e sinusoidali. Tuttavia, se Fourier aveva ragione, la somma di un numero infinito di sinusoidi convergeva e rappresentava con precisione una funzione dotata di discontinuità, anche numerose.

A quel tempo ciò sembrava una patente assurdità. Nonostante queste obiezioni, molti ricercatori, tra cui la matematica Sophie Germain  e l'ingegnere Claude Navier, cominciarono a estendere i risultati di Fourier oltre il dominio dell'analisi del calore. I matematici tuttavia continuarono a essere ossessionati dal problema se una somma di funzioni sinusoidali potesse convergere a una funzione discontinua e rappresentarla con precisione. Il problema della convergenza si presenta ogni volta che si deve sommare una serie infinita di numeri. Si consideri questo classico esempio: potrò mai arrivare alla parete se a ogni passo percorro metà della stanza residua? Il primo passo mi porta a metà strada, il secondo tre quarti e dopo il quinto passo ho già quasi percorso il 97% del cammino. È evidente che ciò equivale quasi a essere arrivato alla parete, ma per quanti passi io faccia non la raggiungerò mai esattamente. Si può tuttavia dimostrare per via matematica che prima o poi giungo a una distanza dalla parete inferiore a qualsiasi distanza fissata a priori. (Questo equivale a dimostrare che la somma di un mezzo, un quarto, un ottavo, un sedicesimo e così via tende a uno.) Il problema della convergenza della serie di Fourier e si presentò di nuovo verso la fine dell'800, in rapporto al tentativo di prevedere le alte e le basse maree. Lord kelvin aveva inventato un calcolatore analogico che forniva informazioni sulle maree agli equipaggi delle navi mercantili e militari. Dapprima si calcolava a mano un insieme di ampiezze e di fasi a partire da una tavola su cui erano state pazientemente registrate per un anno le escursioni di marea e le ore corrispondenti in un determinato porto. Ciascuna ampiezza e fase rappresentava una componente sinusoidale della funzione escursione di marea e metteva in luce uno dei contributi periodici alla marea. I risultati venivano poi prodotti nel calcolatore di Lord kelvin il quale sintetizzava una curva che forniva l'escursione delle maree per l'anno successivo. Ben presto furono costruite curve di marea, per i porti di tutto il mondo. Sembrava ovvio che una macchina per la revisione delle maree dotata di più parti potessi elaborare più ampiezze e fasi e quindi fornire previsioni migliori. Ciò si rivelò e non del tutto esatto se la funzione matematica da elaborare conteneva un salto brusco, cioè se era in sostanza una funzione discontinua. Supponiamo di ridurre una funzione del genere a un piccolo insieme di ampiezze e fasi, cioè a pochi coefficienti di Fourier. La funzione originale può essere allora ricostruita dalle componenti sinusoidali che corrispondono ai coefficienti di in ciascun punto può essere misurato lo scostamento tra la funzione originale e quella ricostruita. La procedura per la misurazione degli scostamenti viene ripetuta, calcolando ogni volta un maggior numero di coefficienti e introducendoli nella funzione ricostruita. Nonostante queste ripetizioni, il valore dello scostamento massimo non diminuisce. In compenso l'errore resta sempre più confinato intorno alla discontinuità e quindi, in definitiva, in qualsiasi punto assegnato l'errore tende a zero.

Dopo quasi due secoli di progressi, la teoria che sta alla base della trasformata di Fourier è solida e chiara. Come si è visto, nell'analisi di Fourier una funzione dello spazio o del tempo viene scomposta in componenti sinusoidali di frequenza, ampiezza e fase diverse. La trasformata di Fourier è una funzione che rappresenta l'ampiezza e la fase corrispondenti a ciascuna frequenza. La trasformata si può ricavare con due metodi matematici diversi, uno dei quali si applica quando la funzione di partenza è continua e l'altro quando essa è composta da molti valori discreti.
A prescindere dal modo in cui la trasformata viene ricavata, per ogni frequenza è necessario segnare due numeri, che potrebbero essere l'ampiezza e la fase. Ma anche altre coppie di numeri potrebbero codificare la stessa informazione. Questi valori possono essere espressi sotto forma di un unico numero complesso. (un numero complesso è la somma di un numero reale con un altro numero reale moltiplicato a sua volta per l'unità immaginaria, cioè la radice quadrata di -1.) Questa rappresentazione è molto diffusa perché sfrutta l'algebra dei numeri complessi. L'algebra dei numeri complessi e la trasformata di Fourier sono diventati indispensabili nei calcoli numerici utilizzati per il progetto di circuiti elettrici, per l'analisi delle vibrazioni meccaniche e per lo studio della propagazione delle onde.
Oggi lo studio della trasformata di Fourier consiste in massima parte nella ricerca di tecniche per passare con facilità dalle funzioni alle loro trasformate e viceversa. Per calcolare l'integrale di Fourier e ricavare la trasformata si possono applicare metodi analitici anche se questi metodi sono forse difficili per la media degli utenti, molti integrali di Fourier sono stati calcolati sono elencati in tavole di consultazione. Per fortuna esistono metodi numerici per calcolare la trasformata di Fourier di funzioni da cui forma è basata su dati sperimentali o il cui integrale di Fourier non è facilmente calcolabile e non si trova nelle tavole. Prima dell'avvento dei calcolatori elettronici, il calcolo numerico di una trasformata era piuttosto noioso perché si dovevano fare moltissime operazioni aritmetiche con carta e matita. Il tempo necessario poteva essere ridotto un po' usando regole e piani di conputazione che guidavano i ricercatori del calcolo, ma di solito il lavoro restava enorme. Quante operazioni si dovessero seguire dipendeva dal numero di punti necessari per descrivere l'onda. Il numero di addizioni e era circa pari al numero di punti e il numero di moltiplicazioni era pari al quadrato del numero dei punti. Quindi per analizzare un'onda individuata da 1000 punti a intervalli regolari occorrevano circa 1000 addizioni e un milione di moltiplicazioni. Questi calcoli divennero più agevoli quando si resero disponibili calcolatori e i programmi in grado di applicare i nuovi metodi di analisi di Fourier, come quello proposto nel 1965 da James Cooley del Thomas J. Watson Research Center della IBM e da John Tukey dei Bell Telephone Laboratories di Murray Hill, nel New Jersey. Il loro lavoro portò all'allestimento di un programma chiamato trasformata rapida di Fourier. Nella trasformata rapida di Fourier la curva viene divisa in un gran numero di campioni a intervalli uguali. Quando il numero di campioni viene dimezzato, il numero delle moltiplicazioni occorrenti per l'analisi di una curva si dimezza. Per esempio una curva con 16 campioni richiederebbe 16 al quadrato, cioè 256, moltiplicazioni. Ma se si suppone che la curva venga divisa in due pezzi di otto punti ciascuno, il numero di moltiplicazioni occorrenti per analizzare ciascun segmento è 8 al quadrato, cioè 64, e per i i due segmenti del totale è 128, cioè metà del numero precedente. Se dimezzando la sequenza segnata raddoppia il risparmio in termini di operazioni, perché non si prosegue con questo metodo? Continuando a suddividere si arriva a otto pezzi irriducibili con due punti ciascuno. Le trasformate di Fourier di questi pezzi con due punti possono essere calcolate senza eseguire moltiplicazioni, ma la moltiplicazione occorre di nuovo quando si vogliono combinare le trasformate parziali per costruire la trasformata complessiva.

Dapprima le trasformate dei pezzi con due punti vengono combinate e trasformate con quattro punti, poi in trasformate con otto punti e infine nella trasformata voluta con 16 punti. Questi tre passaggi in cui vengono combinati pezzi richiedono 16 moltiplicazioni ciascuno e quindi si devono eseguire 48 moltiplicazioni in tutto, cioè 3/16 delle 256 di partenza. Questo metodo per ridurre il numero di operazioni è molto più antico del lavoro di Cooley e Tukey e può essere fatto risalire al matematico astronomo Carl Friedrich Gauss. Gauss voleva calcolare le orbite degli asteroidi e delle comete a partire da poche osservazioni. Dopo avere scoperto una soluzione, trovò in metodo per ridurre la complessità dei calcoli basato sui principi simili a quelli della trasformata rapida di Fourier. Descrivendo il suo lavoro in una memoria del 1805, Gauss scriveva: <<L’esperienza insegnerà a chi lo usa che questo metodo riduce grandemente il tedio del calcolo meccanico>>. Quindi il problema del moto dei corpi celesti non solo ci fornì l’analisi infinetisimale e le leggi di Keplero, ma stimolò anche la scoperta di un moderno strumento di calcolo. I fisici e gli ingegneri, abituati all’uso dell’algebra dei numeri complessi, si trovano a loro agio con la rappresentazione delle sinusoidi. La convenienza di rappresentazione la trasformata di Fourier sottoforma di funzione complessa ci fa dimenticare che le componenti sinusoidali soggiacenti sono reali e non necessariamente complesse. Questa abitudine concettuale ha oscurato il significato e ha ritardato l’adozione di una trasformata simile a quella di Fourier,  ideata nel 1942 da Ralph V. L.  Hartley. Presso il laboratorio di ricerca della Western Electric Company, Hartley aveva diretto le prime fasi di sviluppo dei radioricevitori per un radiotelefono transatlantico, inventando anche il circuito oscillante di Hartley. Durante la prima guerra mondiale, Hartley studiò il modo in cui un ascoltatore percepisce la direzione di un suono grazie a meccanismi nell’orecchio e nel cervello. Dopo la guerra Hartley lavorò nei Bell Laboratories, dove formulò per primo un importante principio nel campo della tecnologia dell’informazione, secondo il quale la quantità complessiva di informazione che un sistema può trasmettere è proporzionale al prodotto dell’intervallo di frequenze su cui il sistema trasmette per la durata della trasmissione.  Nel 1929 Hartley rinunciò alla direzione del suo gruppo per ragioni di salute. Ristabilitosi, si dedicò agli studi teorici che portarono alla trasformata di Hartley. Questa è un metodo alternativo per analizzare una funzione assegnata in termini di sinusoidi. Differisce da quella di Fourier per un aspetto piuttosto semplice. Mentre nella trasformata di Fourier entrano in gioco numeri reali e immaginari e una somma complessa di funzioni sinusoidali, nella trasformata di Hartley compaiono solo numeri reali e una somma reale di funzioni sinusoidali. Nel 1984 misi a punto un algoritmo per la trasformata di Hartley. La differenza nel tempo di computazione tra la trasformata rapida Hartley e la trasformata rapida Fourier dipende dal calcolatore, dal linguaggio di programmazione e dallo stile. A parità di questi fattori e se non si commettono sviste nella programmazione, i programmi per la trasformata rapida di Hartley sono più veloci da eseguire di quelli della trasformata rapida di Fourier. Benché i due programmi richiedano lo stesso tempo per reperire i dati, fornire le funzioni trigonometriche e sbrigare altri preliminari, il tempo impiegato nelle varie fasi della trasformata di Hartley è metà di quello occorrente per la trasformata di Fourier.
All'inizio tuttavia non era chiaro se la trasformata di Hartley fornisse le stesse informazioni di quella di Fourier. Pertanto i primi programmi per calcolare la trasformata di Hartley venivano corredati di un passaggio in più, che la convertiva nella più nota trasformata di Fourier. Gli studiosi, tuttavia, si resero conto ben presto che le intensità e le fasi si potevano ricavare direttamente dalla trasformata di Hartley, senza bisogno di quel passaggio supplementare. In seguito si capì anche che entrambi i tipi di trasformata forniscono per ogni frequenza una coppia di numeri che rappresentano una oscillazione fisica in ampiezza e in fase. Un'altra riserva relativa alla trasformata di Hartley stava nel fatto che la trasformata di Fourier pareva descrivere i fenomeni fisici in modo più naturale. Molti fenomeni, per esempio la risposta di un sistema semplice alla vibrazione, sono di solito descritti mediante una somma complessa di funzioni sinusoidali, che è il tratto distintivo della trasformata di Fourier. Può dunque sembrare che le trasformate di Fourier siano più idonee alla descrizione dei fenomeni in natura.
In realtà questa conclusione è più un riflesso della nostra educazione matematica che della natura. In fin dei conti, quando misuriamo le grandezze fisiche, i dati che ricaviamo sono numeri reali e non complessi. L'avvento della trasformata rapida di Hartley ha reso superflui alcuni adattamenti della trasformata rapida di Fourier, per esempio quelli usati per eliminare il rumore della musica registrata per via digitale. Questi adattamenti richiedono due programmi: uno trasforma le funzioni reali nel dominio complesso di Fourier, mentre l'altro converte le funzioni complesse del dominio di Fourier in funzioni reali. Il rumore ad alta frequenza della musica registrata per via digitale può essere eliminato filtrando certe porzioni della trasformata ottenuta con il primo programma. Il secondo programma fa poi passare dalla trasformata così modificata a un segnale musicale migliore. Benché la velocità di esecuzione di ciascuno di questi ingegnosi programmi completa con quella della trasformata rapida di Hartley, in quest'ultimo caso basta un unico programma per passare da una funzione reale a una trasformata di Hartley e per riconvertire la trasformata in una funzione reale dopo il filtraggio voluto, quindi si risparmia memoria perché non è necessario immagazzinare nel calcolatore due programmi.
In generale le trasformate di Fourier e di Hartley sono stati applicati ovunque si presentino fenomeni di oscillazione. Pertanto il loro campo di applicazione è vastissimo. Molte sono le applicazioni in biologia. In effetti la forma doppia elica del DNA fu scoperta nel 1962 grazie alle tecniche di diffrazione dei raggi X e all'analisi di Fourier. Un fascio di raggi X. fu concentrato su un cristallo di filamenti di DNA e i raggi X diffratti dalle molecole di DNA furono registrati su pellicola. La figura di diffrazione fornì l'informazione relativa all'ampiezza della trasformata di Fourier della struttura cristallina. L'informazione sulla fase, che le fotografie da sole non davano, fu ricavata confrontando la figura di diffrazione del DNA con figure prodotte da sostanze chimiche simili. Dall'intensità dei raggi X e dall'informazione relativa alla fase fornita dalla trasformata di Fourier, i biologi riuscirono risalire alla funzione di partenza, cioè alla struttura cristallina. Negli ultimi anni, studiando la diffrazione dei raggi X e utilizzando questa analisi di Fourier <<inversa>>, si è ricostruita l'organizzazione di molte altre molecole biologiche e di strutture più complesse, come i virus.
La National Aeronautics Space Administration si serve dell'analisi di Fourier per migliorare la nitidezza e il dettaglio delle immagini di oggetti celesti ottenute nello spazio da sonde planetarie e da satelliti in orbita terrestre. Le immagini vengono trasmesse a terra sotto forma di successioni di impulsi radio. Un calcolatore trasforma questi impulsi utilizzando le tecniche di Fourier, quindi modifica le varie componenti di ciascuna trasformata per accentuare alcune caratteristiche ed eliminarne altre, più o meno come si elimina il rumore della trasformata di Fourier di una registrazione musicale. Infine, i dati modificati vengono ritrasformati per ricostruire l'immagine. Questo procedimento può mettere meglio a fuoco l'immagine, può eliminare la foschia di fondo e modificare il contrasto.
La trasformata di Fourier è utile anche nella fisica dei plasmi, nella fisica dei semiconduttori, nell'acustica a microonde, in sismografia, in oceanografia, nella ricognizione radar e nella realizzazione di immagini in medicina. In chimica fra le molte applicazioni segnaliamo l'impiego di uno spettrometro basato sulla trasformata di Fourier. L'analisi di Fourier si è dimostrata utile anche nelle mie ricerche sulla costruzione di immagini a due dimensioni. Nel 1956 scoprii un teorema di proiezione <<a fette>> che forniva un metodo per ricostruire le immagini a partire dai integrali di striscia, un problema che oggi noto con il nome di ricostruzione tomografica. In seguito riuscii a formulare <<l'algoritmo di proiezione inversa modificato>>, oggi universalmente usato nella tomografia a raggi X assistita da calcolatori, la TAC.
Ero anche interessato alla ricostruzione di immagini basate su dati forniti dai radiotelescopi. Volendo individuare sorgenti di onde radio sulla superficie del sole, applicai metodi della trasformata al progetto di un radiotelescopio a scansione che potesse costruire quotidianamente mappe a microonde della temperatura del sole per 11 anni. Questi metodi, e portarono alla prima antenna dotata di un fascio così stretto da fornire una risoluzione superiore a quella dell'occhio umano, si sono poi diffusi della tecnica generale delle antenne. La NASA apprezzò le mappe solari, che avevano contribuito alla sicurezza degli astronauti inviati sulla luna. Ho applicato la trasformata di Hartley ad altre ricerche. Di recente il mio collega John D. Villasenor e io abbiamo descritto un metodo ottico per trovare la trasformata di Hartley. Questa scoperta consente di codificare in un'unica immagine reale la fase e l'ampiezza di Fourier. Abbiamo anche allestito un dispositivo che costruisce la trasformata di Hartley usando le microonde. In questo momento sto ricevendo articoli sulla fisica solare, nella quale le tecniche di trasformazione sono la base di nuovi metodi per analizzare i dati ricavati dal conteggio delle macchie solari e dallo spessore degli strati sedimentari sulla terra. Grazie all'ampio uso del metodo di Fourier e di tecniche analitiche affini, quanto disse Lord kelvin nel 1867 resta vero ancor oggi: <<il teorema di Fourier non è soltanto uno dei risultati più belli dell'analisi moderna, ma si può affermare che esso fornisce uno strumento indispensabile per affrontare quasi tutti i problemi più ardui della fisica moderna>>.