Per calcolare una trasformata basta ascoltare. L'orecchio segue automaticamente
un calcolo che il nostro intelletto può effettuare solo dopo anni di studio
della matematica. L'orecchio e segue una trasformata convertendo il suono, cioè
le onde di pressione che si spostano nel tempo e nell'atmosfera, in uno spettro,
in cui il suono descritto come una serie di volumi alle diverse frequenze. Il
cervello trasforma queste informazioni nella percezione di un suono. Operazioni
analoghe possono essere eseguite per via matematica sulle onde sonore e
virtualmente su qualsiasi altro fenomeno ondulatorio, dalle onde luminose alle
maree e ai cicli solari. Questi strumenti matematici possono scomporre le
funzioni che rappresentano tali fenomeni ondulatori in un insieme di componenti
sinusoidali, curve ondulatorie che passano da un massimo a un minimo di
viceversa, più o meno come l'altezza delle onde del mare. La trasformata di
Fourier è una funzione che descrive l'ampiezza e la fase delle sinusoidi,
ciascuna delle quali corrisponde una sequenza particolare. (L'ampiezza descrive
l'altezza della sinusoide; la fase definisce il punto iniziale del ciclo della
sinusoide).La trasformata di Fourier è divenuta uno strumento utilissimo in
diversi domini della scienza. In certi casi essa offre la possibilità di
risolvere le astruse equazioni che descrivono le risposte dinamiche a
sollecitazioni elettriche, termiche o luminose. In altri casi serve a
identificare le componenti regolari di un segnale ondulatorio, consentendo così
di interpretare certe osservazioni in astronomia, medicina chimica. Una
caratteristica singolare di Fourier fu il suo interesse, addirittura ossessivo,
per il calore. A casa sua, a Grenoble, la temperatura era così alta che spesso i
visitatori se ne lamentavano. Per di più Fourier e si avvolgeva in abiti
pesanti. Forse allettato dalla prospettiva del clima caldo, nel 1798
Fourier decise di unirsi al gruppo di 165 dotti che accompagnavano Napoleone
nella spedizione in Egitto.
Mentre Napoleone combatteva contro i siciliani in Palestina, cacciava i turchi
dall'Egitto e inseguiva il capo dei mamelucchi, Murad Bey, gli scienziati
francesi intraprendevano ambiziosi studi di geografia, archeologia, medicina,
agricoltura e storia naturale. Fourier fu nominato segretario di un ente
scientifico detto Istituto d'Egitto e sbrigò compiti amministrativi con tale
competenza che gli furono assegnati molti incarichi diplomatici. Nonostante
questi impegni riuscì a svolgere ricerche approfondite sulle antichità egizie e
formulare una teoria sulle radici dell'equazioni algebriche. Poco prima che i
francesi venissero cacciati dall'Egitto, nel 1801, Fourier e i suoi colleghi
salparono per la Francia. L'ammiraglio Sir Sidney Smith, comandante della flotta
britannica, catturò subito la loro nave con il suo carico di documenti e reperti
egizi. Con la cavalleria tipica di quei tempi, Smith provvede a sbarcare gli
scienziati, illesi ad Alessandria. In seguito, il comandante inglese si recò a
Parigi e restituì il materiale confiscato, tranne la pietra di Rosetta (chiave
dei geroglifici), che oggi si trova British Museum e rappresenta un monumento
alla disfatta militare di Napoleone e al suo contributo all'egittologia.
Tornato in Francia relativamente indenne, Fourier divenne docente di analisi
all'Ecole Polytechnique e si concentrò sulla matematica, ma nel 1802 tornò di
nuovo al servizio di Napoleone, assumendo la carica di prefetto del dipartimento
dell'Isère. Nell'intento di porre rimedio ai guasti provocati dalla rivoluzione
del 1789, fece costruire il tratto francese della strada per Torino e
prosciugare 80.000 km² di paludi malariche. In questo periodo Fourier ricavò un
equazione che descriva la conduzione del calore nei solidi. Nel 1807 era in
possesso di un metodo per risolvere questa equazione: la trasformata di Fourier
Fourier usò la sua tecnica matematica e spiegare molti casi di conduzione
termica. Un esempio particolarmente istruttivo, che non presenta complicazioni
computazionali, è la conduzione termica nell'anello di un ancora (l'anello di
ferro al quale viene attaccata la catena) si sia stato immerso per metà nel
fuoco. Quando parte della circonferenza raggiunge il calor rosso, l'anello viene
estratto. Prima che troppo calore venga ceduto all'atmosfera, l'anello viene
sepolto in fine sabbia isolante e ne viene misurata la temperatura lungo il
profilo esterno.
La temperatura di un anello di ferro
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fu uno dei primi fenomeni analizzati con
la tecnica di Fourier. Si parte da una data di distribuzione di temperatura
lungo l'anello (a); il colore più intenso corrisponde alle zone più calde. Per
eseguire l'analisi, l'anello lieve dapprima sviluppato (b), quindi si misura la
temperatura in ciascun punto per ottenerne la distribuzione lungo tutta la
circonferenza (c). Alla fine, questa distribuzione viene scomposta in diverse
curve sinusoidali aventi uno, due, tre o più cicli (d). Si sommano 16 di queste
curve (curva continua in e) si ottiene una buona approssimazione della
distribuzione e della temperatura di partenza (curva tratteggiata in e).
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All'inizio la distribuzione della temperatura è
irregolare: l'anello è in parte uniformemente freddo e in parte uniformemente
caldo; fra le due parti la temperatura fa un brusco salto. Via via che il calore
passa per conduzione dalla regione calda a quella fredda, tuttavia, la
distribuzione della temperatura comincia a lisciarsi e ben presto assume una
forma sinusoidale: la curva della temperatura sale e scende dolcemente e ha una
forma a S proprio come le funzioni seno e coseno. Pian piano la sinusoide si
appiattisce, in che tutte le parti dell'anello raggiungono la stessa
temperatura. Fourier ipotizzò che la distribuzione irregolare iniziale si
potesse scomporre in molte sinusoidi semplici, ciascuna con la propria
temperatura massima e la propria fase, cioè la posizione relativa lungo la
circonferenza. Inoltre, per ogni giro completo dell'anello ciascuna componente
sinusoidale variava dal valore massimo a quello minimo e poi a quello massimo un
numero intero di volte. La sinusoide con un solo ciclo lungo la circonferenza
prese il nome di armonica fondamentale, mentre gli sinusoidi con due o tre cicli
o più furono dette rispettivamente seconda e terza armonica o armoniche
superiori. La funzione matematica che descrive la temperatura massima e la
posizione, o fase, di ciascuna armonica e la trasformata di Fourier della
distribuzione di temperatura. Fourier aveva sostituito un'unica distribuzione,
difficile da descrivere per via matematica, con una serie e più maneggevole di
funzioni seno e coseno (con un numero intero di periodi) le quali, sommate,
riproducevano la distribuzione originaria. Applicando questa analisi alla
conduzione del calore lungo l'anello, Fourier concluse che quanto maggiore è il
numero di periodi di una componente sinusoidale, tanto più rapido sarà il suo
smorzamento. È possibile seguire il suo ragionamento considerando la relazione
tra la fondamentale e la seconda armonica della distribuzione di temperatura.
Lungo la circonferenza dell'anello la temperatura della seconda armonica passo
due volte dal caldo al freddo, mentre la fondamentale subisce una sola
variazione. Quindi per la seconda armonica e la distanza che il calore deve
percorrere per passare dalla cresta calda al ventre freddo è metà rispetto a
quanto accade per la fondamentale. Inoltre per la seconda armonica il gradiente
di temperatura è doppio di quello per la fondamentale. Poiché un flusso doppio
di calore occupa metà distanza, la seconda armonica si smorza quattro volte più
rapidamente dell'armonica fondamentale. Le armoniche superiori si smorzano con
velocità ancora maggiore. Quindi, via via che la temperatura dell'anello tende
all'equilibrio, rimane solo la distribuzione sinusoidale della fondamentale.
Fourier era convinto che con la sua tecnica si potesse calcolare l'evoluzione
temporale di qualunque distribuzione iniziale di temperatura.
L'analisi di Fourier metteva in discussione le teorie matematiche cui aderivano
senza riserve i suoi contemporanei. Molti dei grandi matematici francesi del
primo 800, tra cui Lagrange, Laplace, Legendre, Biot e Poisson, si rifiutavano
di accettare la tesi di Fourier secondo la quale qualunque distribuzione
iniziale di temperatura poteva essere scomposta in una semplice somma aritmetica
di un'oscillazione fondamentale e delle sue armoniche superiori. Anche Leonhard Euler
era in disaccordo con le idee di Fourier, benché avesse già ipotizzato che
alcune funzioni si potessero rappresentare come somma mi sinusoidi. Accadde
dunque che, quando Fourier sostenne la sua tesi a una seduta dell'Accademia
francese delle scienze, Lagrange si alzò in piedi e la dichiarò impossibile.
Nonostante ciò, l'Accademia non poté ignorare la portata dei risultati umili e e
gli conferì un premio per la teoria matematica della propagazione termica e per
il confronto da lui compiuto fra i risultati della sua teoria e quelli di
accurati esperimenti. Il premio tuttavia, gli fu concesso con la seguente
riserva:<<La novità della materia, insieme alla sua importanza, ci ha convinto a
conferire il premio, ma non possiamo non osservare che il modo in cui l'autore
perviene alle sue equazioni non è esente da difficoltà e che il suo metodo
analitico per integrarle lascia a desiderare quanto a generalità e anche a
rigore>>. Il sospetto con cui i colleghi consideravano il suo lavoro ne ritardò
la pubblicazione fino al 1815. Anzi, un resoconto completo comparve solo nel
1822, quando Fourier pubblicò il libro Théorie analytique de la chaleur. Le
obiezioni mosse all'impostazione di Fourier riguardavano in particolare
l'asserzione che una funzione evidentemente discontinua potesse essere
rappresentata come somma di sinusoidi, che sono funzioni continue. Le funzioni
discontinue descrivono curve o rette spezzate; per esempio, la funzione detta
gradino di Heaviside vale zero a sinistra e salta al valore e
uno a destra. (Con una funzione siffatta si può descrivere il flusso della
corrente quando viene chiuso un interruttore.) Per i contemporanei di Fourier
era cosa mai vista che una funzione discontinua risultasse dalla combinazione di
funzioni continue ordinarie, per esempio funzioni lineari, quadratiche,
esponenziali e sinusoidali. Tuttavia, se Fourier aveva ragione, la somma di un
numero infinito di sinusoidi convergeva e rappresentava con precisione una
funzione dotata di discontinuità, anche numerose.
A quel tempo ciò sembrava una patente assurdità.
Nonostante queste obiezioni, molti ricercatori, tra cui la matematica
Sophie Germain e l'ingegnere Claude Navier, cominciarono a estendere i
risultati di Fourier oltre il dominio dell'analisi del calore. I matematici
tuttavia continuarono a essere ossessionati dal problema se una somma di
funzioni sinusoidali potesse convergere a una funzione discontinua e
rappresentarla con precisione. Il problema della convergenza si presenta ogni
volta che si deve sommare una serie infinita di numeri. Si consideri questo
classico esempio: potrò mai arrivare alla parete se a ogni passo percorro metà
della stanza residua? Il primo passo mi porta a metà strada, il secondo tre
quarti e dopo il quinto passo ho già quasi percorso il 97% del cammino. È
evidente che ciò equivale quasi a essere arrivato alla parete, ma per quanti
passi io faccia non la raggiungerò mai esattamente. Si può tuttavia dimostrare
per via matematica che prima o poi giungo a una distanza dalla parete inferiore
a qualsiasi distanza fissata a priori. (Questo equivale a dimostrare che la
somma di un mezzo, un quarto, un ottavo, un sedicesimo e così via tende a uno.)
Il problema della convergenza della serie di Fourier e si presentò di nuovo
verso la fine dell'800, in rapporto al tentativo di prevedere le alte e le basse
maree. Lord kelvin aveva inventato un calcolatore analogico che forniva
informazioni sulle maree agli equipaggi delle navi mercantili e militari.
Dapprima si calcolava a mano un insieme di ampiezze e di fasi a partire da una
tavola su cui erano state pazientemente registrate per un anno le escursioni di
marea e le ore corrispondenti in un determinato porto. Ciascuna ampiezza e fase
rappresentava una componente sinusoidale della funzione escursione di marea e
metteva in luce uno dei contributi periodici alla marea. I risultati venivano
poi prodotti nel calcolatore di Lord kelvin il quale sintetizzava una curva che
forniva l'escursione delle maree per l'anno successivo. Ben presto furono
costruite curve di marea, per i porti di tutto il mondo. Sembrava ovvio che una
macchina per la revisione delle maree dotata di più parti potessi elaborare più
ampiezze e fasi e quindi fornire previsioni migliori. Ciò si rivelò e non del
tutto esatto se la funzione matematica da elaborare conteneva un salto brusco,
cioè se era in sostanza una funzione discontinua. Supponiamo di ridurre una
funzione del genere a un piccolo insieme di ampiezze e fasi, cioè a pochi
coefficienti di Fourier. La funzione originale può essere allora ricostruita
dalle componenti sinusoidali che corrispondono ai coefficienti di in ciascun
punto può essere misurato lo scostamento tra la funzione originale e quella
ricostruita. La procedura per la misurazione degli scostamenti viene ripetuta,
calcolando ogni volta un maggior numero di coefficienti e introducendoli nella
funzione ricostruita. Nonostante queste ripetizioni, il valore dello scostamento
massimo non diminuisce. In compenso l'errore resta sempre più confinato intorno
alla discontinuità e quindi, in definitiva, in qualsiasi punto assegnato
l'errore tende a zero.
Dopo quasi due secoli di progressi, la teoria che sta alla base della
trasformata di Fourier è solida e chiara. Come si è visto, nell'analisi di
Fourier una funzione dello spazio o del tempo viene scomposta in componenti
sinusoidali di frequenza, ampiezza e fase diverse. La trasformata di Fourier è
una funzione che rappresenta l'ampiezza e la fase corrispondenti a ciascuna
frequenza. La trasformata si può ricavare con due metodi matematici diversi, uno
dei quali si applica quando la funzione di partenza è continua e l'altro quando
essa è composta da molti valori discreti.
A prescindere dal modo in cui la trasformata viene ricavata, per ogni frequenza
è necessario segnare due numeri, che potrebbero essere l'ampiezza e la fase. Ma
anche altre coppie di numeri potrebbero codificare la stessa informazione.
Questi valori possono essere espressi sotto forma di un unico numero complesso.
(un numero complesso è la somma di un numero reale con un altro numero reale
moltiplicato a sua volta per l'unità immaginaria, cioè la radice quadrata di
-1.) Questa rappresentazione è molto diffusa perché sfrutta l'algebra dei numeri
complessi. L'algebra dei numeri complessi e la trasformata di Fourier sono
diventati indispensabili nei calcoli numerici utilizzati per il progetto di
circuiti elettrici, per l'analisi delle vibrazioni meccaniche e per lo studio
della propagazione delle onde.
Oggi lo studio della trasformata di Fourier consiste in massima parte nella
ricerca di tecniche per passare con facilità dalle funzioni alle loro
trasformate e viceversa. Per calcolare l'integrale di Fourier e ricavare la
trasformata si possono applicare metodi analitici anche se questi metodi sono
forse difficili per la media degli utenti, molti integrali di Fourier sono stati
calcolati sono elencati in tavole di consultazione. Per fortuna esistono metodi
numerici per calcolare la trasformata di Fourier di funzioni da cui forma è
basata su dati sperimentali o il cui integrale di Fourier non è facilmente
calcolabile e non si trova nelle tavole. Prima dell'avvento dei calcolatori
elettronici, il calcolo numerico di una trasformata era piuttosto noioso perché
si dovevano fare moltissime operazioni aritmetiche con carta e matita. Il tempo
necessario poteva essere ridotto un po' usando regole e piani di conputazione
che guidavano i ricercatori del calcolo, ma di solito il lavoro restava enorme.
Quante operazioni si dovessero seguire dipendeva dal numero di punti necessari
per descrivere l'onda. Il numero di addizioni e era circa pari al numero di
punti e il numero di moltiplicazioni era pari al quadrato del numero dei punti.
Quindi per analizzare un'onda individuata da 1000 punti a intervalli regolari
occorrevano circa 1000 addizioni e un milione di moltiplicazioni. Questi calcoli
divennero più agevoli quando si resero disponibili calcolatori e i programmi in
grado di applicare i nuovi metodi di analisi di Fourier, come quello proposto
nel 1965 da James Cooley del Thomas J. Watson Research Center della IBM e da
John Tukey dei Bell Telephone Laboratories di Murray Hill, nel New Jersey. Il
loro lavoro portò all'allestimento di un programma chiamato trasformata rapida
di Fourier. Nella trasformata rapida di Fourier la curva viene divisa in un gran
numero di campioni a intervalli uguali. Quando il numero di campioni viene
dimezzato, il numero delle moltiplicazioni occorrenti per l'analisi di una curva
si dimezza. Per esempio una curva con 16 campioni richiederebbe 16 al quadrato,
cioè 256, moltiplicazioni. Ma se si suppone che la curva venga divisa in due
pezzi di otto punti ciascuno, il numero di moltiplicazioni occorrenti per
analizzare ciascun segmento è 8 al quadrato, cioè 64, e per i i due segmenti del
totale è 128, cioè metà del numero precedente. Se dimezzando la sequenza segnata
raddoppia il risparmio in termini di operazioni, perché non si prosegue con
questo metodo? Continuando a suddividere si arriva a otto pezzi irriducibili con
due punti ciascuno. Le trasformate di Fourier di questi pezzi con due punti
possono essere calcolate senza eseguire moltiplicazioni, ma la moltiplicazione
occorre di nuovo quando si vogliono combinare le trasformate parziali per
costruire la trasformata complessiva.
Dapprima le trasformate dei pezzi con due punti vengono
combinate e trasformate con quattro punti, poi in trasformate con otto punti e
infine nella trasformata voluta con 16 punti. Questi tre passaggi in cui vengono
combinati pezzi richiedono 16 moltiplicazioni ciascuno e quindi si devono
eseguire 48 moltiplicazioni in tutto, cioè 3/16 delle 256 di partenza. Questo
metodo per ridurre il numero di operazioni è molto più antico del lavoro di
Cooley e Tukey e può essere fatto risalire al matematico astronomo Carl
Friedrich Gauss. Gauss voleva calcolare le orbite degli asteroidi e delle comete
a partire da poche osservazioni. Dopo avere scoperto una soluzione, trovò in
metodo per ridurre la complessità dei calcoli basato sui principi simili a
quelli della trasformata rapida di Fourier. Descrivendo il suo lavoro in una
memoria del 1805, Gauss scriveva: <<L’esperienza insegnerà a chi lo usa che
questo metodo riduce grandemente il tedio del calcolo meccanico>>. Quindi il
problema del moto dei corpi celesti non solo ci fornì l’analisi infinetisimale e
le leggi di Keplero, ma stimolò anche la scoperta di un moderno strumento di
calcolo. I fisici e gli ingegneri, abituati all’uso dell’algebra dei numeri
complessi, si trovano a loro agio con la rappresentazione delle sinusoidi. La
convenienza di rappresentazione la trasformata di Fourier sottoforma di funzione
complessa ci fa dimenticare che le componenti sinusoidali soggiacenti sono reali
e non necessariamente complesse. Questa abitudine concettuale ha oscurato il
significato e ha ritardato l’adozione di una trasformata simile a quella di
Fourier, ideata nel 1942 da Ralph V. L. Hartley. Presso il laboratorio di
ricerca della Western Electric Company, Hartley aveva diretto le prime fasi di
sviluppo dei radioricevitori per un radiotelefono transatlantico, inventando
anche il circuito oscillante di Hartley. Durante la prima guerra mondiale,
Hartley studiò il modo in cui un ascoltatore percepisce la direzione di un suono
grazie a meccanismi nell’orecchio e nel cervello. Dopo la guerra Hartley lavorò
nei Bell Laboratories, dove formulò per primo un importante principio nel campo
della tecnologia dell’informazione, secondo il quale la quantità complessiva di
informazione che un sistema può trasmettere è proporzionale al prodotto
dell’intervallo di frequenze su cui il sistema trasmette per la durata della
trasmissione. Nel 1929 Hartley rinunciò alla direzione del suo gruppo per
ragioni di salute. Ristabilitosi, si dedicò agli studi teorici che portarono
alla trasformata di Hartley. Questa è un metodo alternativo per analizzare una
funzione assegnata in termini di sinusoidi. Differisce da quella di Fourier per
un aspetto piuttosto semplice. Mentre nella trasformata di Fourier entrano in
gioco numeri reali e immaginari e una somma complessa di funzioni sinusoidali,
nella trasformata di Hartley compaiono solo numeri reali e una somma reale di
funzioni sinusoidali. Nel 1984 misi a punto un algoritmo per la trasformata di
Hartley. La differenza nel tempo di computazione tra la trasformata rapida
Hartley e la trasformata rapida Fourier dipende dal calcolatore, dal linguaggio
di programmazione e dallo stile. A parità di questi fattori e se non si
commettono sviste nella programmazione, i programmi per la trasformata rapida di
Hartley sono più veloci da eseguire di quelli della trasformata rapida di
Fourier. Benché i due programmi richiedano lo stesso tempo per reperire i dati,
fornire le funzioni trigonometriche e sbrigare altri preliminari, il tempo
impiegato nelle varie fasi della trasformata di Hartley è metà di quello
occorrente per la trasformata di Fourier.
All'inizio tuttavia non era chiaro se la trasformata di Hartley fornisse le
stesse informazioni di quella di Fourier. Pertanto i primi programmi per
calcolare la trasformata di Hartley venivano corredati di un passaggio in più,
che la convertiva nella più nota trasformata di Fourier. Gli studiosi, tuttavia,
si resero conto ben presto che le intensità e le fasi si potevano ricavare
direttamente dalla trasformata di Hartley, senza bisogno di quel passaggio
supplementare. In seguito si capì anche che entrambi i tipi di trasformata
forniscono per ogni frequenza una coppia di numeri che rappresentano una
oscillazione fisica in ampiezza e in fase. Un'altra riserva relativa alla
trasformata di Hartley stava nel fatto che la trasformata di Fourier pareva
descrivere i fenomeni fisici in modo più naturale. Molti fenomeni, per esempio
la risposta di un sistema semplice alla vibrazione, sono di solito descritti
mediante una somma complessa di funzioni sinusoidali, che è il tratto distintivo
della trasformata di Fourier. Può dunque sembrare che le trasformate di
Fourier siano più idonee alla descrizione dei fenomeni in natura.
In realtà questa conclusione è più un riflesso della nostra educazione
matematica che della natura. In fin dei conti, quando misuriamo le grandezze
fisiche, i dati che ricaviamo sono numeri reali e non complessi. L'avvento della
trasformata rapida di Hartley ha reso superflui alcuni adattamenti della
trasformata rapida di Fourier, per esempio quelli usati per eliminare il rumore
della musica registrata per via digitale. Questi adattamenti richiedono due
programmi: uno trasforma le funzioni reali nel dominio complesso di Fourier,
mentre l'altro converte le funzioni complesse del dominio di Fourier in funzioni
reali. Il rumore ad alta frequenza della musica registrata per via digitale può
essere eliminato filtrando certe porzioni della trasformata ottenuta con il
primo programma. Il secondo programma fa poi passare dalla trasformata così
modificata a un segnale musicale migliore. Benché la velocità di esecuzione di
ciascuno di questi ingegnosi programmi completa con quella della trasformata
rapida di Hartley, in quest'ultimo caso basta un unico programma per passare da
una funzione reale a una trasformata di Hartley e per riconvertire la
trasformata in una funzione reale dopo il filtraggio voluto, quindi si risparmia
memoria perché non è necessario immagazzinare nel calcolatore due programmi.
In generale le trasformate di Fourier e di Hartley sono stati applicati ovunque
si presentino fenomeni di oscillazione. Pertanto il loro campo di applicazione è
vastissimo. Molte sono le applicazioni in biologia. In effetti la forma doppia
elica del DNA fu scoperta nel 1962 grazie alle tecniche di diffrazione dei raggi
X e all'analisi di Fourier. Un fascio di raggi X. fu concentrato su un cristallo
di filamenti di DNA e i raggi X diffratti dalle molecole di DNA furono
registrati su pellicola. La figura di diffrazione fornì l'informazione relativa
all'ampiezza della trasformata di Fourier della struttura cristallina.
L'informazione sulla fase, che le fotografie da sole non davano, fu ricavata
confrontando la figura di diffrazione del DNA con figure prodotte da sostanze
chimiche simili. Dall'intensità dei raggi X e dall'informazione relativa alla
fase fornita dalla trasformata di Fourier, i biologi riuscirono risalire alla
funzione di partenza, cioè alla struttura cristallina. Negli ultimi
anni, studiando la diffrazione dei raggi X e utilizzando questa analisi di
Fourier <<inversa>>, si è ricostruita l'organizzazione di molte altre molecole
biologiche e di strutture più complesse, come i virus.
La National Aeronautics Space Administration si serve dell'analisi di Fourier
per migliorare la nitidezza e il dettaglio delle immagini di oggetti celesti
ottenute nello spazio da sonde planetarie e da satelliti in orbita terrestre. Le
immagini vengono trasmesse a terra sotto forma di successioni di impulsi radio.
Un calcolatore trasforma questi impulsi utilizzando le tecniche di Fourier,
quindi modifica le varie componenti di ciascuna trasformata per accentuare
alcune caratteristiche ed eliminarne altre, più o meno come si elimina il rumore
della trasformata di Fourier di una registrazione musicale. Infine, i dati
modificati vengono ritrasformati per ricostruire l'immagine. Questo procedimento
può mettere meglio a fuoco l'immagine, può eliminare la foschia di fondo e
modificare il contrasto.
La trasformata di Fourier è utile anche nella fisica dei plasmi, nella fisica
dei semiconduttori, nell'acustica a microonde, in sismografia, in oceanografia,
nella ricognizione radar e nella realizzazione di immagini in medicina. In
chimica fra le molte applicazioni segnaliamo l'impiego di uno spettrometro
basato sulla trasformata di Fourier. L'analisi di Fourier si è dimostrata utile
anche nelle mie ricerche sulla costruzione di immagini a due dimensioni. Nel
1956 scoprii un teorema di proiezione <<a fette>> che forniva un metodo per
ricostruire le immagini a partire dai integrali di striscia, un problema che
oggi noto con il nome di ricostruzione tomografica. In seguito riuscii a
formulare <<l'algoritmo di proiezione inversa modificato>>, oggi universalmente
usato nella tomografia a raggi X assistita da calcolatori, la TAC.
Ero anche interessato alla ricostruzione di immagini basate su dati forniti dai
radiotelescopi. Volendo individuare sorgenti di onde radio sulla superficie del
sole, applicai metodi della trasformata al progetto di un radiotelescopio a
scansione che potesse costruire quotidianamente mappe a microonde della
temperatura del sole per 11 anni. Questi metodi, e portarono alla prima antenna
dotata di un fascio così stretto da fornire una risoluzione superiore a quella
dell'occhio umano, si sono poi diffusi della tecnica generale delle antenne. La
NASA apprezzò le mappe solari, che avevano contribuito alla sicurezza degli
astronauti inviati sulla luna. Ho applicato la trasformata di Hartley ad altre
ricerche. Di recente il mio collega John D. Villasenor e io abbiamo descritto un
metodo ottico per trovare la trasformata di Hartley. Questa scoperta consente di
codificare in un'unica immagine reale la fase e l'ampiezza di Fourier. Abbiamo
anche allestito un dispositivo che costruisce la trasformata di Hartley usando
le microonde. In questo momento sto ricevendo articoli sulla fisica solare,
nella quale le tecniche di trasformazione sono la base di nuovi metodi per
analizzare i dati ricavati dal conteggio delle macchie solari e dallo spessore
degli strati sedimentari sulla terra. Grazie all'ampio uso del metodo di Fourier
e di tecniche analitiche affini, quanto disse Lord kelvin nel 1867 resta vero
ancor oggi: <<il teorema di Fourier non è soltanto uno dei risultati più belli
dell'analisi moderna, ma si può affermare che esso fornisce uno strumento
indispensabile per affrontare quasi tutti i problemi più ardui della fisica
moderna>>.
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