Il recalcitrante padre dei buchi neri

Le equazioni della gravità di Einstein sono alla base della moderna teoria dei buchi neri; per ironia della sorte, egli le utilizzò per dimostrare che simili oggetti non possono esistere.

di Jeremy Bernstein

Talora la grande scienza lascia un'eredità che supera non solo l'immaginazione di chi la pratica, ma anche le sue intenzioni: un caso emblematico è rappresentato dai primi sviluppi della teoria dei buchi neri e soprattutto dal ruolo svolto da Albert Einstein. Questi pubblicò nel 1939, su <<Annals Mathematics>>, un articolo dal formidabile titolo: Sui sistemi stazionari con simmetria sferica consistenti di molte masse gravitanti. Con questo contributo Einstein cercava di trovare che i buchi neri - oggetti celesti così densi che la forza di gravità da essi prodotta impedisce che la luce ne fuoriesca - non potevano esistere. L'ironia della situazione consiste nel fatto che, per dimostrare questa ipotesi, egli impiegò la sua teoria generale della relatività e della gravitazione, pubblicata nel 1916, ossia proprio quella stessa teoria oggi utilizzata per provare che l'esistenza dei buchi neri è non solo possibile ma, per molti oggetti astronomici, inevitabile. In effetti, pochi mesi dopo la pubblicazione di Einstein e senza nessun riferimento a questa, apparve un articolo di J. Robert Oppenheimer  e del suo allievo Hartland S. Snyder intitolato Sulla contrazione gravitazionale continua. Il lavoro si serviva della teoria generale della relatività di Einstein per dimostrare, per la prima volta nel contesto della fisica moderna, come potesse aver luogo la formazione di buchi neri. Un fatto forse ancora più curioso è che gli studi moderni sui buchi neri, più generalmente sul collasso stellare, poggiano su un pilastro completamente differente dell'eredità einsteiniana, ossia sulla sua invenzione della meccanica statistica quantistica. Senza gli effetti previsti della statistica quantistica, qualsiasi oggetto astronomico collasserebbe in un buco nero, dando origine a un universo che non avrebbe alcuna somiglianza con quello in cui viviamo. Bose, Einstein e la statistica l'invenzione della statistica quantistica da parte di Einstein e ispirata da una lettera che egli ricevette nel giugno 1924 da un giovane fisico indiano all'epoca sconosciuto, Satyendra Nath Bose. Accluso alla lettera era un manoscritto che era già stato rifiutato da una rivista scientifica britannica. Dopo averlo letto, Einstein lo tradusse in tedesco per pubblicarlo nella prestigiosa <<Zeitschrift fur Physik>>. Perché Einstein pensò che quel manoscritto fosse così importante? Per una ventina d'anni si era lambiccato con il problema della natura della radiazione elettromagnetica, e in particolare della radiazione intrappolata all'interno di un contenitore riscaldato che raggiunga l'equilibrio termico con le pareti del contenitore stesso. Proprio al volgere del secolo nel fisico tedesco Max Plank aveva introdotto la funzione matematica che descrive l'intensità di questa <<radiazione di corpo nero>> in funzione delle diverse lunghezze d'onda o <<colori>>. Conseguenza di questa descrizione era che lo spettro della radiazione non dipende dal materiale che costituisce le pareti del contenitore; la sola variabile significativa è la temperatura della radiazione. Un impressionante esempio di radiazione di corpo nero è costituito da fotoni residui del big bang (in questo caso il <<contenitore>> è l'intero universo). La temperatura di questi fotoni, recentemente misurata in 2,726 Kelvin, è quella del celebre radiazione cosmica di fondo. Per una fortuita coincidenza, Bose aveva elaborato la meccanica statistica della radiazione di corpo nero, ovvero aveva ricavato la legge di Plank da una prospettiva matematica quantomeccanica. Quel risultato catturò l'attenzione di Einstein, il quale utilizzò gli stessi metodi per esaminare la meccanica statistica di un gas molecolare che obbediva allo stesso tipo di leggi usate da Bose nel caso dei fotoni. E gli derivò l'analogo della legge di Plank per questo caso e osservò un fatto davvero notevole: se si raffredda un gas di particelle che obbedisce alla cosiddetta statistica di Bose-Einstein, a una certa  temperatura critica tutte le molecole si raccolgono improvvisamente in un unico stato energetico che oggi viene denominato <<condensato di Bose-Einstein>> (sebbene Bose non abbia nulla a che vedere direttamente con esso). Un esempio interessante è quello di un gas costituito dal comune isotopo elio 4, il cui  nucleo è formato da due protoni e due neutroni. La temperatura di 2,18 K questo caso si trasforma in un liquido che manifesta tutte le più arcane proprietà e si possono immaginare, tra le quali l'assenza di attrito (meglio conosciuta come il superfluidità). Nel 1995 diversi gruppi di ricerca statunitensi sono riusciti nell'ostico compito di raffreddare altre specie atomiche a temperatura di qualche miliardesimo di K per ottenere un condensato di Bose-Einstein. non tutte le particelle esistenti in natura, però, manifestano questa proprietà. Nel 1925, subito dopo la pubblicazione dell'articolo di Einstein sulla condensazione, il fisico austriaco Wolfgang Pauli identificò una seconda classe di particelle, comprendente gli elettroni protoni e neutroni e dotata di proprietà differenti. Egli scoprì che due particelle identiche di questa classe, per esempio due elettroni, non possono mai trovarsi nello stesso Stato quantico: questa proprietà prende il nome di principio di esclusione di Pauli. Nel 1926 Enrico Fermi e P.A.M. Dirac ricavarono la statistica quantistica di queste particelle, in contrapposizione a quella di Bose-Einstein per i gas atomici. A causa del principio di Pauli, l'ultima cosa al mondo che queste particelle farebbero alle basse temperatura è condensare; al contrario, e si manifestano esattamente la tendenza opposta. Se si comprime, diciamo, un gas elettroni, raffreddandolo a temperature estremamente basse e riducendone il volume, gli elettroni sono costretti a <<sovrapporsi>>, ovvero a invadere lo spazio occupato da altri elettroni. Ma il principio di Pauli lo proibisce, sicché essi si allontanano l'uno dall'altro a velocità che possono approssimarsi a quella della luce. Per gli elettroni e le altre particelle che ubbidiscono al principio di esclusione, la pressione creata da queste particelle in fuga - o <<pressione di degenerazione>> - persiste anche se il gas viene raffreddato allo zero assoluto, e non ha nulla a che vedere con la repulsione elettrostatica che gli elettroni esercitano l'uno sull'altro. I neutroni che sono privi di carica elettrica, si comportano esattamente allo stesso modo.
La statistica quantistica e le nane bianche. Ma che c'entra la statistica quantistica con le stelle? Prima dell'inizio del secolo, gli astronomi avevano cominciato a identificare una classe di stelle peculiari caratterizzate dal fatto di essere piccole e deboli: le nane bianche. La compagna della stella più luminosa del cielo, Sirio, alla stessa massa del Sole, ma emette solo 1/360 della sua luce. Data la loro massa e le loro dimensioni, le nane bianche devono essere spaventosamente dense: la compagna di Sirio è 61.000 volte più intensa dell'acqua. Che diavolo sono questi bizzarri corpi celesti?  A questo punto entra in scena sir Arthur Eddington . Quando cominciai a studiare fisica, sul finire degli anni 40, consideravo Eddington alla stregua di un idolo, ma per la ragione sbagliata; non sapevo nulla del suo fondamentale lavoro in astronomia, ma conoscevo bene le sue pubblicazioni divulgative (che, da quando ho imparato qualcosa di più di fisica, mi sembrano quasi sciocchezze). Eddington, scomparso nel 1944, era un neo-kantiano, convinto che quanto di significativo avviene nell'universo possa essere appreso attraverso la ragione. Ma tra la fine del secondo decennio del secolo - quando condusse una delle due campagne che confermarono la previsione di Einstein secondo la quale il Sole devia la luce delle stelle -e la fine degli anni 30 - quando davvero cominciò a esagerare con le sue speculazioni filosofiche - Eddington fu certamente uno dei giganti della scienza del nostro secolo. Egli creò quasi da solo il settore di ricerca che permise per la prima volta di comprendere la composizione interna delle stelle, e che diede il titolo ha un suo libro pubblicato nel 1926. Per lui, le nane bianche erano un affronto, perlomeno dal punto di vista estetico: ciò nondimeno lo studiò, e ne ricavò un'idea liberatoria. Nel 1924 Eddington propose che la pressione gravitazionale e comprime le nane bianche possa strappare alcuni elettroni al legame con i protoni. Perduti in questo modo i loro <<confini>>, gli atomi possono essere perciò intensamente impacchettati in un piccolo volume. Il collasso della nana bianca si interrompe alla fine, a causa della pressione di degenerazione di Fermi-Dirac, non appena gli elettroni cominciano a respingersi violentemente a vicenda per effetto del principio di esclusione di Pauli. La conoscenza dei meccanismi che stanno alla base delle nane bianche e fece un altro grande passo avanti nel luglio 1930, mentre il diciannovenne Subrahmanyan Chandrasekhar si trovava a bordo di una nave diretta da Madras a Southampton. Egli si stava trasferendo in Inghilterra per collaborare con R. W. Fowler presso l'Università di Cambridge ( dove peraltro si trovava anche Eddington). Dopo aver letto il libro di Eddington e sulle stelle e quello di Fowler sulla meccanica statistica quantistica, Chandrasekhar era rimasto affascinato dalle nane bianche; per passare il tempo durante il viaggio, si chiese perciò se non ci fosse un limite alla massa delle nane bianche, oltre il quale esse dovrebbero collassare sotto la spinta della loro stessa attrazione gravitazionale. La risposta che ne ricavò un letteralmente rivoluzionaria.

una nana bianca nel suo insieme è elettricamente neutra, sicché per ogni elettrone deve esserci un corrispondente protone, che ha una massa quasi 2000 volte maggiore. Di conseguenza devono essere i protoni la causa della maggior parte della compressione gravitazionale. Se la stella nana non sta collasssando, la pressione di degenerazione degli elettroni e il collasso gravitazionale dovuto ai protoni devono bilanciarsi esattamente. Ne risulta che questo equilibrio limita il numero dei protoni, e quindi la massa della stella. Questo valore massimo e conosciuto come il limite di Chandrasekhar ed è pari a circa 1,4 masse solari. Qualsiasi stella nana di massa superiore a questo valore sarebbe instabile. Il risultato di Chandrasekhar irritò profondamente Eddington. Che cosa succede allora se la massa è superiore alle fatidiche 1,4 masse solari? Egli non gradiva affatto la risposta: a meno che non si trovasse qualche meccanismo per limitare la massa della stella che si comprime sino a diventare una nana, o pure a meno che il risultato di Chandrasekhar non fosse sbagliato, le stelle di grande massa erano destinate al collasso gravitazionale. Eddington trovava questa ipotesi del tutto inaccettabile e cominciò ad attaccare Chandrasekhar  (in sede sia pubblica che privata) per il suo uso della statistica quantistica. Queste critiche demoralizzarono profondamente il fisico indiano, e tuttavia restò sulle sue posizioni, sostenuto da personalità come Niels Bohor che lo rassicurò asserendo che Eddington era semplicemente in errore e doveva essere ignorato. Una sensazione singolare Mentre alcuni scienziati esploravano le relazioni tra statistica quantistica e nane bianche, altri affrontavano il lavoro di Einstein sulla gravitazione, ossia la teoria generale della relatività. A quanto ne so, Einstein non dedicò mai molto del suo tempo alla ricerca di soluzioni esatte alle equazioni della gravitazione. La parte della teoria che descriveva la gravità in prossimità della materia era estremamente complicata, giacché la gravità distorce la geometria dello spazio e del tempo, imponendo a una particella di muoversi da un punto all'altro lungo una traiettoria curva. Un fatto ancora più importante è che la sorgente della gravità - la materia - non può essere descritta per mezzo delle sole equazioni gravitazionali. La massa, per dirla tutta, avrebbe dovuto essere introdotta nelle equazioni a bella posta, il che fece intuire a Einstein che le equazioni erano incomplete. Tuttavia soluzioni approssimate potevano ancora descrivere con sufficiente accuratezza fenomeni come la deflessione della luce. Ciò nonostante Einstein rimase impressionato quando, nel 1916, l'astronomo tedesco Karl Schwarzschild presentò la soluzione esatta per una situazione realistica, quella di un pianeta orbitante intorno a una stella. Nel corso del suo lavoro Schwarzschild notò qualcosa di sgradevole. Per un certo valore della distanza dal centro della stella, la matematica va a farsi benedire. In corrispondenza di questo valore, che oggi prende il nome di raggio di Schwarzschild, il tempo si annulla e lo spazio diviene infinito: le equazioni presentano quella che i matematici chiamano una singolarità. Il raggio di Schwarzschild è, solitamente, più piccolo del raggio dell'oggetto; per il Sole, per esempio, è di 3 km, mentre per una biglia di 1 g è di 10 alla -28 cm. Schwarzschild naturalmente, si era reso conto che la sua formula impazziva per questo valore del raggio, ma decise che la cosa non aveva importanza. Costruire un modello semplificato di stella e dimostrò che sarebbe stato necessario un gradiente di pressione infinito per comprimere la stella in un volume piccolo come quello definito dal suo raggio. La scoperta, concluse, non era di interesse pratico. La sua analisi, però, non mise tutti d'accordo. In particolare essa infastidì a Einstein, poiché il modello stellare di Schwarzschild non soddisfaceva i certi requisiti tecnici della teoria della relatività. Diversi studiosi, comunque, dimostrarono che le soluzioni di Schwarzschild avrebbero potuto essere riscritte con una formulazione che evitava la singolarità. Ma il risultato era davvero non singolare?  Non sarebbe corretto dire che il dibattito fosse furibondo, dato che la maggior parte dei fisici e dimostrava scarso interesse per questi argomenti, almeno fino al 1939.
Nel suo articolo di quell'anno Einstein attribuì il suo rinnovato interesse per il raggio di Schwarzschild alle discussioni avute con il cosmologo di Princeton Harold P. Robertson e con il suo assistente Peter G. Bergmann,. L'intenzione di Einstein, con quell'articolo, era certamente di stroncare la singolarità di Schwarzschild una volta per tutte. Alla fine del contributo, egli scrisse: <<il risultato essenziale di questo studio è una chiara spiegazione del perché le " singolarità di Schwarzschild" non esistono nella realtà fisica>>. In altre parole, i buchi neri non possono esistere. Per chiarire la sua posizione, Einstein si concentrò sull'esame di una collezione di minuscole particelle in moto orbitale circolare sotto reciproco influsso gravitazionale: di fatto, un sistema somigliante a un ammasso stellare sferico. Si chiese, quindi, se una simile configurazione potesse collassare per effetto della sua stessa forza gravitazionale in una stella stabile di raggio pari al raggio di Schwarzschild. Ne concluse che la cosa era impossibile, perché un valore di raggio poco più grande di quello di Schwarzschild le stelle dell'ammasso, per mantenere una configurazione stabile, avrebbero dovuto muoversi a una velocità superiore a quella della luce. Sebbene il ragionamento di Einstein sia corretto, la sua osservazione è irrilevante: non importa che una stella che collassa sia instabile in corrispondenza del raggio di Schwarzschild, poiché la stella continua collassare fino a valori del raggio più piccoli di quello di Schwarzschild. Fui molto colpito dal fatto che l'allora sessantenne Einstein presentasse dell'articolo tabelle di risultati numerici che doveva aver ottenuto usando un regolo calcolatore. Ma l'articolo, così come il regolo, è ormai un cimelio storico.
Dai neutroni ai buchi neri

Mentre Einstein conduceva le sue ricerche, in California si stava svolgendo un'impresa affatto differente: Oppenheimer i suoi allievi stavano dando forma la moderna teoria dei buchi neri. Il fatto curioso a proposito della ricerca sui buchi neri e che fu ispirata da un'idea che si rivelò del tutto sbagliata. Nel 1932 lo sperimentalista britannico James Chadwick aveva scoperto il neutrone, la particella neutra dei nuclei atomici. Immediatamente si cominciarono studi sull'eventualità che i neutroni costituissero un'alternativa alle nane bianche, studi promossi in particolare da Fritz Zwicky del Caltech e indipendentemente dal grande teorico sovietico Lev D. Landau. Questi scienziati intuirono che, quando la pressione gravitazionale diventa sufficientemente elevata, un elettrone in una stella potrebbe reagire con un protone generando un neutrone. All'epoca di questi studi il meccanismo responsabile della produzione di energia nelle stelle era ancora ignoto. Una possibile soluzione voleva una stella di neutroni al centro delle stelle ordinarie, più o meno secondo lo stesso schema che oggi prevede che i buchi neri forniscano energia ai quasar. La domanda nacque spontanea: qual è l'equivalente del limite di massa di Chandrasekhar per queste stelle? La risposta è più difficile da trovare di quanto non fosse per le nane bianche perché i neutroni interagiscono reciprocamente con una forza di notevole intensità di cui non sono ancora pienamente chiarite le caratteristiche. La gravità finirebbe per superare l'intensità di questa forza, ma l'esatto valore limite della massa dipende dai dettagli dell'interazione. Oppenheimer pubblicò due articoli sull'argomento con i suoi allievi Robert Serber de George M.Volkoff ne concluse che la massa limita in questo caso deve essere paragonabile al limite di Chandrasekhar per le nane bianche. I2 contributi furono pubblicate dal 1938 e nel 1939. (La vera fonte dell'energia stellare, la fusione nucleare, fu scoperta da Hans Bethe e Carl Friedrich von Weitzsacker nel 1938, ma occorsero alcuni anni perché fosse accettata, sicché gli astrofisici continuarono a perseguire vie alternative). Oppenheimer affrontò esplicitamente il problema che aveva preoccupato Eddington riguardo alle nane bianche: che cosa succederebbe se una stella che sta collassando avesse una massa che ecceda questi limiti? Il rifiuto dei buchi neri da parte di Einstein nel 1939 - del quale Oppenheimer e collaboratori erano certamente all'oscuro, lavorando in concorrenza e a 5000 km di distanza - era irrilevante. Ma Oppenheimer non voleva costruire una stella stabile di raggio pari al raggio di Schwarzschild; voleva invece vedere che cosa sarebbe accaduto se si fosse lasciata collassare una stella al di sotto del suo raggio di Schwarzschild, e affidò a Snyder il compito di studiare il problema nei dettagli. Per semplificare la questione, Oppenheimer disse a Snyder di fare alcuni assunti e di trascurare considerazioni tecniche come la pressione di degenerazione o l'eventuale rotazione della stella. L'intuito suggeriva a Oppenheimer che questi fattori non avrebbero modificato sensibilmente i calcoli. Basandosi sulle ipotesi semplificate, Snyder trovò sorprendentemente che ciò che avviene a una stella che collassa dipende dalla posizione dell'osservatore.

Due visioni di un collasso
Cominciamo da un osservatore in quiete, posto a distanza di sicurezza dalla stella. Supponiamo anche che vi sia un altro osservatore sulla superficie della stella, <<solidale>> col suo collasso, che possa inviare segnali luminosi al suo collega stazionario. Questi che tra i segnali provenienti dalla sua controparte in moto spostarsi gradualmente verso l'estremità rossa dello spettro elettromagnetico. Se si immagina di misurare la frequenza di segnali con un orologio, l'osservatore in quiete dirà che l'orologio dell'osservatore sulla stella sta gradualmente rallentando. Al raggio di Schwarzschild l'orologio si fermerà. L'osservatore in quiete ne dedurrà che occorre un tempo infinito perché la stella collassi  fino al suo raggio di Schwarzschild. Non possiamo dire che cosa succeda dopo perché, secondo l'osservatore in quiete, non c'è un <<dopo>>: la stella è congelata al suo raggio di Schwarzschild. Di fatto, fino al 1967, quando John A. Wheeler coniò l'espressione <<buco nero>> in una conferenza, questi oggetti furono spesso citati in letteratura con il nome di <<stelle congelate>>. Lo stato di congelamento è il reale significato della singolarità nella geometria di Schwarzschild. Come osservarono Oppenheimer e Snyder nel loro articolo, la stella in collasso <<tende a chiudersi su se stessa eliminando ogni comunicazione con osservatori esterni; ciò che persiste e solo il suo campo gravitazionale>>. In altri termini, si è formato un buco nero. Ma ce n'è dell'osservatore che stazionava sulla stella? Questi, come notarono Oppenheimer e Snyder, ha una percezione degli eventi completamente diversa. Per lui, il raggio di Schwarzschild non ha un particolare significato: lo oltrepassa in termini normalmente misurabili con il suo orologio. Sarebbe, però, soggetto a una terribile forza gravitazionale che lo farebbe a pezzi. L'anno era il 1939, e il mondo stesso stava per essere fatto a pezzi Oppenheimer venne ben presto assoldato per realizzare la più distruttiva arma mai progettata dall'uomo e non lavorò più al tema dei buchi neri, né - per quanto ne sappia - lo fece Einstein. Terminata la guerra, e precisamente nel 1947, Oppenheimer divenne direttore dell'Institute for Advanced Study a Princeton, dove Einstein insegnava ancora. Di quando in quando i due facevano qualche chiacchierata, ma non vi è alcuna testimonianza di loro discussioni sui buchi neri. Perché vi fossero progressi fu necessario arrivare agli anni 60, quando la scoperta dei quasar, delle pulsar e delle sorgenti X compatte le portò alla ribalta la questione del misterioso destino delle stelle.

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