Confinati  in un piano bidimensionale, gli elettroni possono manifestare l'effetto Hall quantistico, un fenomeno che oggi si ritiene legato alla superconduttività

di Stiven Kivelson,Dung Lee e Shou Zhang da Le Scienze nr 333

 Fin dai tempi dell'antica Grecia, una delle grandi aspirazioni di tutte le discipline scientifiche è stata quella di scoprire un insieme minimo di principi fondamentali soggiacenti ai diversi fenomeni naturali. Questa impostazione riduzionistica ha dato esiti positivi in certi settori, per esempio nella fisica delle alte energie, che studia le particelle fondamentali della materia e le forze che le governano. I fisici teorici hanno suddiviso tutte le particelle in poche famiglie e hanno formulato le leggi fisiche fondamentali in termini di interazioni di queste particelle. La situazione è molto diversa nella fisica della materia condensata, la disciplina che studia i soldi e i liquidi. Le ricerche condotte in questo secolo sul comportamento degli elettroni nei soldi hanno rivelato diversi stati della materia in cui gli elettroni si organizzano in una miriade di modi degni di considerazione. Per esempio, in genere i soldi sono o isolanti (che si oppongono al passaggio della corrente elettrica) o metalli (che conducono bene la corrente, ma presentano comunque una piccola resistenza). Tuttavia, in particolari condizioni, certi sogni di possono essere soggetti a uno stato di superconduttività che permette alla corrente elettrica di fluire senza alcuna resistenza. Le caratterizzazioni teoriche proposte per questi stati sono varie quanto gli stati stessi. Presto, però, ci potrebbero essere interessanti novità. E stato infatti scoperto un profondo legame tra la superconduttività e un altro fenomeno molto studiato in fisica della materia condensata: l'effetto Hall quantistico. Questo fenomeno si presenta quando gli elettroni sono soggetti contemporaneamente a tre condizioni specifiche: si trovano imprigionati sulla superficie di contatto tra due cristalli semiconduttori, sicché possono spostarsi soltanto in un piano bidimensionale; hanno una temperatura prossima allo zero assoluto; e infine sono immersi in un intenso campo magnetico. Questo campo fa si che gli elettroni subiscano una deriva ortogonale alla direzione della corrente. Di conseguenza si genera una tensione trasversale, e quindi una forza che spinge trasversalmente gli elettroni. Se il campo magnetico aumenta, cresce anche la tensione, ma non linearmente, bensì con un preciso andamento a scalini. Il fenomeno dell'effetto Hall quantistico viene considerato la <<firma>> di una nuova fase della materia, distinta da tutte le altre. Quando l'effetto Hall quantistico fu scoperto, nel 1980, i fisici si resero conto che in questo stato straordinario e gli elettroni hanno proprietà fondamentalmente diverse da quelle che presentano in tutti gli altri stati noti della materia. Tuttavia le più recenti indagini condotte in questo settore hanno rivelato un sorprendente legame tra l'effetto Hall quantistico e il più familiare fenomeno della superconduttività. Lo studio di questo legame ha anche consentito di prevedere nuove fasi della materia, che di recente sono state confermate per via sperimentale. Anche se forse l'effetto Hall quantistico non ha un'importanza pratica immediata, il suo studio ha facilitato la messa a punto di nuovi concetti e strumenti teorici. È probabile che questi strumenti abbiano notevoli conseguenze per la fisica, così come la teoria della superconduttività ha contribuito al progresso della fisica delle particelle elementari e come lo studio delle transizioni di fase ci hanno fatto meglio comprendere lo sviluppo dell'universo primordiale. Studiando l'effetto Hall quantistico è anche possibile gettare uno sguardo sul sorprendente funzionamento del mondo subatomico: queste ricerche stanno quindi spronando gli studiosi a formulare un quadro più completo del mondo fisico. Inoltre i principi soggiacenti potrebbero dimostrarsi importanti per le future generazioni di dispositivi elettronici a semiconduttore. Dato che questi dispositivi diventano sempre più piccoli, infatti, prima o poi potrebbero raggiungere dimensioni tali che la meccanica quantistica e le interazioni fra gli elettroni saranno elementi cruciali della loro progettazione.

L'effetto Hall quantistico è una manifestazione insolita di un fenomeno più generale e ben noto, relativo alla conduzione elettrica, che fu scoperto nel 800 da fisico americano Edwin H. Hall. Se si applica una tensione ai capi di un filo conduttore, si ha passaggio di corrente. Se poi il filo viene immerso in un campo magnetico, gli elettori in movimento sono sottoposti a una forza trasversale che opera una ridistribuzione non uniforme degli elettroni: sul lato destro del filo finiscono più elettroni che sul lato sinistro. Questa disuniformità della distribuzione provoca a sua volta una tensione perpendicolare alla direzione della corrente. Per rivelare la tensione trasversale (tensione di Hall) basta collegare ai capi del filo i morsetti di un abituale apparecchio di misurazione , per esempio un voltmetro. Per una intensità della corrente, l'attenzione di Hall aumenta uniformemente con la forza del campo magnetico. Oggi a questo fenomeno si dà comunemente il nome di effetto Hall classico. Nel 1980 Klaus von Klitzing, che allora si trovava al Laboratorio sui campi elettromagnetici forti dell'Istituto Max Plank di Grenoble, Michael Pepper, dell'Università di Cambridge, e Gerhardt Dordda dei laboratori di ricerca della Siemens di Monaco di Baviera scoprirono che in condizioni particolari l'effetto Hall non obbedisce alle regole ordinarie. Grazie ai progressi nel campo dei semiconduttori, è possibile imprigionare un gruppo di elettroni tra due cristalli di semiconduttore in modo che essi si possano muovere solo in due direzioni. Raffreddando questi elettroni fino al uno o 2° sopra lo zero assoluto, i ricercatori scoprirono che la tensione di Hall non aumentava uniformemente al crescere dell'intensità del campo elettromagnetico. La tensione di Hall cresce invece a gradini, mantenendo costante del proprio valore per piccole variazioni dell'intensità del campo magnetico e illustrazione 48. Inoltre, quando la tensione di Hall raggiungeva questi tratti orizzontali, la revisione longitudinale - quella necessaria per mantenere il flusso di corrente - quasi si annullava. In altre parole, nel piano bidimensionale gli elettroni diventavano <<conduttori perfetti>>. Forse ancora più sorprendente fu la scoperta che, in corrispondenza di ciascun tratto orizzontale, una grandezza chiamata conduttanza di Hall aveva un valore particolare. La conduttanza di Hall è il rapporto tra l'intensità della corrente longitudinale e il valore della tensione di Hall. Von Klitzing e i colleghi conclusero che in ogni tratto orizzontale la conduttanza di Hall era un multiplo intero del quanto di conduttanza, una unità che vale 1/25812,8 siemens (cioè ohm^ -1, poiché la conduttanza è l' inverso della resistenza). Il quanto di conduttanza si indica con e^2/h (dove e è la carica degli elettroni e h è la costante di Plank, che lega la frequenza di un raggio luminoso alla minima quantità di energia che esso può trasportare). Per la scoperta di questo <<effetto Hall quantistico intero>>, Von Klitzing ottenne il premio Nobel per la fisica nel 1985. Nel 1982 Daniel C. Tsui, ora alla Princeton di University, Horst L. Stormer, degli AT&T Bell Laboratoies, e Arthur C. Gossard, ora all'Università della California a Santa Barbara, si imbatterono in un altro in attesa proprietà dell'effetto Hall quantistico: scoprirono cioè che i tratti orizzontali della tensione di Hall erano più frequenti di quanto si pensasse all'inizio. La tensione di Hall si appiattiva in corrispondenza di specifici valori frazionari del quanto di conduttanza, per esempio 1/3, 2/5 e 3/7. Questo fenomeno è stato chiamato, come ovvio, effetto Hall quantistico frazionario. Finora nessun esperimento hamesso in luce spostamenti tra le conduttanze di Hall misurate e i valori quantizzati: l'accordo è a meno di 1/10000000, e ci sono indicazioni indirette che i valori coincidano a meno di 1/100000000000. A causa di questa precisione, il National Institute of Standards and Technology ha adottato l'effetto Hall quantistico come campione per tarare gli apparecchi per la misurazione della resistenza. Perché la conduttanza di Hall assume questi valori <<magici?>> Per anni si è cercato di risolvere l'enigma. La risposta, come vedremo, sta nell'intensità del campo magnetico che agisce su ciascun elettrone. Per chiarire la soluzione, è necessario conoscere le caratteristiche della descrizione che i fisici danno dei campi magnetici. Per prima cosa, in meccanica quantistica intensità del campo magnetico e agisce su un volume elementare viene rappresentata in termini di una unità detta quanto di flusso magnetico. Un quanto di flusso può essere immaginato come una freccia: per calcolare la forza del campo magnetico basta contare il numero di quanti di flusso -cioè di frecce- che attraversano una data area del volume elementare. In secondo luogo, una grandezza importante legata alle intensità del campo magnetico è il cosiddetto fattore di riempimento, definito come il rapporto tra il numero di elettroni contenuti in un volume elementare e il numero dei quanti di flusso magnetico che attraversano il volume. Quando il fattore di riempimento è 1, vi è un quanto di flusso per ciascun elettrone, quando il fattore è 1/3, vi sono tre quanti di flusso per ogni elettrone. In terzo luogo, esiste una correlazione tra i valori quantizzati della conduttanza di Hall e i fattori di riempimento corrispondenti (detti fattori di riempimento magici). Quando il fattore di riempimento è 1, la conduttanza di Hall è 1 x e^2/h; quando il fattore di riempimento è 1/3, la conduttanza di Hall è 1/3 x e^2/h e così via. Robert B. Laughlin, ora alla Stanford University, fu il primo a spiegare i tratti orizzontali della conduttanza di Hall ricorrendo a modelli matematici distinti per i fattori di riempimento interi e frazionari. Le sue spiegazioni  pionieristiche (e quelle di altri ricercatori) si basavano sulle funzioni d'onda: le funzioni matematiche che descrivono tutto ciò che vi è da sapere sullo stato delle particelle quantistiche. Nonostante abbia goduto di un certo successo, l'impostazione di Laughlin lasciava senza risposta molti quesiti. Essa si basava su semplificazioni poco plausibili per i materiali reali, che contengono molte imperfezioni. Le Funzioni d'onda sono astratte, e quindi le spiegazioni di Laughlin non erano visualizzabili. La sua impostazione non indicava l'esistenza di possibili legami tra l'effetto Hall quantistico e altri fenomeni elettronici nei solidi. Infine, vista l'analogia tra l'effetto Hall quantistico intero e quello frazionario, sembrerebbe necessario trattarli alla stessa stregua e non separatamente. Sfruttando una precisa analogia matematica tra l'effetto Hall quantistico e la superconduttività, siamo riusciti a proporre una nuova interpretazione dell'effetto Hall quantistico. Oltre a unificare due fenomeni in apparenza disparati, questa analogia consente di applicare all'effetto Hall quantistico ciò che si sa della superconduttività.I bosoni sono una delle due famiglie di particelle che i fisici hanno distinto sulla base della loro <<statistica>> di riempimento degli stati di energia o comportamento di gruppo. La funzione d'onda che descrive un insieme di bosoni resta inalterata quando due particelle si scambiano di posto. L'altra famiglia di particelle è quella dei fermioni, la cui funzione d'onda cambia di segno se due particelle vengono scambiate. Gli elettroni, i protoni e i neutroni sono fermioni. Un atomo, che li contiene tutti e tre, può essere anche il suo trattato come una singola particella (composta). Se poi sia un bosone o un fermione dipende dal numero complessivo dei suoi costituenti: se il numero dispari, l'atomo è un fermione; se è pari è un bosone. Per esempio, l'isotopo elio 4 Contiene due elettroni, due protoni e due neutroni, e quindi è un bosone, mentre l'isotopo Elio 3, con due elettroni,2 protoni e un neutrone, è un fermione. I bosoni e i fermioni differiscono sotto molti aspetti. Qui ci interessano soprattutto le regole che controllano l'occupazione degli stati quantici. I fermioni obbediscono al principio di esclusione di Pauli, che proibisce a due fermioni di occupare lo stesso stato: in sostanza essi non possono avere gli stessi numeri quantici a lo stesso istante. Questa regola non vale per i bosoni, e infatti più bosoni possono trovarsi esattamente nello stesso stato. Queste caratteristiche così diverse dei fermioni e dei bosoni spiegano molte osservazioni fisiche. Un buon esempio è la radicale differenza tra un metallo ordinario e un superconduttore. La conduzione elettrica dei metalli ordinari può essere interpretata facilmente in base alle proprietà dei fermioni (e più specificamente degli elettroni); viceversa la superconduttività è una proprietà dei bosoni. nella fase di superconduzione gli elettroni eludono le regole valide per i fermioni formando doppietti detti coppie di Cooper. Ogni coppia si comporta come un bosone: tutte le coppie possono allora confluire nello stesso stato quantico e dar luogo alla superconduttività. Invece nei metalli allo stato ordinario gli elettroni conservano la loro identità di fermioni singoli; come impone il principio di esclusione di Pauli, debbono occupare stati diversi, e perciò non danno luogo a superconduttività. La teoria che spiega l'effetto Hall quantistico ricorrendo ai bosoni composti fu introdotta nel 1989 da Zhang e Kivelson e da T. Hans Hanson, ora all'Università di Stoccolma. Riassumendo in poche parole, la nostra ipotesi era che un insieme di elettroni confinati in due dimensioni e immersi in un intenso campo magnetico fossero equivalenti, sotto il profilo matematico, a un insieme di bosoni composti immersi in un campo magnetico molto più debole. In condizioni particolari - ossia quando il fattore di riempimento degli elettori raggiunge un valore magico (cioè 1,1/3 o 1/5) - il campo magnetico agente su di bosoni composti in realtà è nullo. In questo caso i bosoni composti, in un'ampia gamma di condizioni, diventerebbero superconduttori. La teoria dei bosoni composti si basa su un'equivalenza matematica tra  elettroni costretti a muoversi in due dimensioni di una famiglia di bosoni e trasporti un fascio di flusso magnetico fittizio. Risulta che, affinché il bosoni composto obbedisca alla statistica di Fermi per gli elettroni, ciascun bosone deve trasportare un numero dispari di quanti di flusso magnetico fittizio. Per spiegare gli effetti del flusso magnetico fittizio la cosa migliore è ricorrere a un esempio. Consideriamo uno dei fattori di riempimento magici in corrispondenza dei quali si ha un tratto orizzontale dell'attenzione di Hall, per esempio 1/3. Questo fattore di riempimento indica che vi sono tre quanti di flusso magnetico reale per ogni elettrone. Consideriamo ciascun elettrone non come un fermione, bensì come un bosone composto legato a tre quarti di flusso fittizio. Orientiamo questi tre quanti di flusso in direzione opposta al campo magnetico esterno. Il flusso complessivo agente sui bosoni è la somma di due flussi, reale e fittizio.poiché il flusso fittizio è stato orientato in modo da cancellare il flusso reale, su bosone agisce un flusso magnetico risultante nullo. Si sa che a basse temperature di bosoni, in assenza di campo magnetico, sono superconduttori, perciò ci si aspetta che la stessa cosa valga per il bosoni composti freddi in corrispondenza del fattore di riempimento 1/3.

La spiegazione dell'effetto Hall quantistico per elettroni in corrispondenza del fattore di riempimento 1/3 (a sinistra) si ottiene quando il bosoni composti elidono il campo magnetico esterno (a destra; il campo eliso è stato omesso per chiarezza). Il bosoni a bassa temperatura e carichi, in assenza di campo magnetico, divengono superconduttori, il che spiega la perfetta conduzione longitudinale. La tensione di Hall è causata dall'induzione: propagandosi, il flusso fittizio genera una tensione trasversale.

Perché la superconduttività di bosoni composti dovrebbe comportare una conduzione perfetta in direzione della corrente e una conduttanza di Hall quantizzata della direzione perpendicolare? La risposta la prima parte della domanda è facile: poiché i bosoni composti sono superconduttori, per sostenere il passaggio della corrente non occorre alcuna tensione, e quindi si riscontra una conduzione perfetta. La seconda domanda è più sottile. Si ricordi che ciascun bosone composto in movimento trasporta un numero dispari di quanti di flusso magnetico fittizio. Pertanto, se i bosoni si spostano, i quanti di flusso magnetico fittizio debbono spostarsi con loro. Ma il movimento di flussi magnetici genera una tensione perpendicolare al flusso (in base alla legge di Faraday dell'induzione magnetica). Inoltre questa tensione trasversale è proporzionale all'intensità complessiva del flusso fittizio che attraversa a ogni secondo il volume elementare. Dunque, per un fattore di riempimento 1/3, la corrente di flusso magnetico è il triplo della corrente elettrica. Ciò spiega a sua volta il fatto che la conduttanza di Hall è pari a 1/3 del quanto di conduttanza.  Il modello basato sui bosoni composti spiega inoltre perché la conduttanza di Hall resti invariata anche quando il fattore di riempimento si scosta lievemente da un valore magico. Sfruttando la teoria dei bosoni composti, abbiamo investigato l'effetto Hall quantistico di svariate condizioni. I risultati di questo studio si possono rappresentare su un diagramma delle fasi,1 diagramma di stato. I fisici ricorrono spesso un diagramma di stato per illustrare il comportamento di un materiale in differenti condizioni. Per esempio, a diverse pressioni le temperature,1 insieme di molecole d'acqua può presentarsi come un liquido, come un solido o come vapore. Si può tracciare un diagramma di stato per rappresentare lo stato fisico delle molecole d'acqua in un intervallo di pressione e di temperatura. Invece di pressione e temperatura, nel diagramma delle fasi degli elettroni in due dimensioni si usano come parametri di intensità del campo magnetico e il grado di imperfezione - o disordine - presente nei cristalli di semiconduttore che intrappolano gli elettroni. Abbiamo tenuto un diagramma di questo genere a partire da diagramma delle fasi dei superconduttori; trasferendo le informazioni contenute in quest'ultimo abbiamo ricavato la struttura di grande suggestione che appare qui sotto in figura

--------------------------

Figura a lato: questo diagramma delle fasi illustra nuovi stati della materia per elettroni in due dimensioni. Per un campo magnetico e un livello di disordine (punto A) gli elettroni si comportano da <<isolante di Hall>> (in verde), con caratteristiche sia degli isolanti sia dei metalli. Perché anche più intensi, gli elettroni diventano un <<liquido di Hall>> (in blu) e manifestano effetto Hall quantistico; infine divengono un <<metallo di Hall>> (in giallo). I numeri indicano i valori interi e frazionari della conduttanza di Hall battezzata.