Henri Poincaré

Il percorso voluto da un re che amava i numeri rese celebre il nome di Poincaré e gli diede l'occasione di cimentarsi su un problema che lo avrebbe impegnato per tutta la vita.

estratto da Le Scienze quaderni anno II nr 7

Non era un mistero per nessuno dei commissari

che Poincaré avesse partecipato al concorso neppure quale fosse il suo manoscritto. Un'epigrafe in latino non riusciva certo a far velo alla straordinaria forza creativa del suo ingegno. Dopo una prima lettura, fu chiaro a tutti che la sua memoria avrebbe vinto il premio. Il vero problema era capire fino in fondo quello che vi era scritto. Mittag Leffler aveva passato il mese di agosto del 1888 in Germania. Si era portato il voluminoso manoscritto di Poincaré (una volta stampato sarebbero state e non meno di 150 pagine) e lo aveva studiato a fondo con Weierstass. Nonostante i loro sforzi, c'erano parecchi punti che rimanevano oscuri. Anche Hermite era d'accordo e in ottobre scriveva a Mittag Leffler: <<bisogna pur riconoscere che, in questo lavoro come in quasi tutte le sue ricerche, il signor Poincaré mostra ben si la via e fornisce delle indicazioni, ma lascia una quantità di cose da fare per colmare le lacune e completare la sua opera>>.>Il 27 gennaio 1889, Le Figarò, Le Temps e gli altri giornali di Parigi riportavano la notizia dell'attribuzione del premio internazionale per la matematica che era stato messo a concorso da Oscr II, re di Svezia e Norvegia. Come ricordava un testimone dell'epoca <<all'annuncio del risultato, la Francia apprese con gioia che la medaglia d'oro, il primo premio, era stata attribuita a un francese, un giovane scienziato di 35 anni, per uno studio meraviglioso della stabilità del sistema solare>>. Così il nome di Henri Poincaré divenne celebre. La notizia apparsa sui quotidiani parigini e ripresa dagli altri giornali europei concludeva una storia cominciata nel luglio di quattro anni prima con un breve articolo pubblicato dalla rivista inglese Nature. Vi si leggeva che re Oscar, <<desideroso di fornire una nuova prova del suo interesse per il progresso delle scienze matematiche>> aveva deciso di <<accordare un premio>> il giorno 21 gennaio 1889, in occasione del suo sessantesimo compleanno <<a un'importante scoperta nel campo dell'analisi matematica superiore>>. Il premio, precisava l'annuncio, consisteva in una medaglia d'oro di un valore di 1000 franchi recante l'effigie del re e di una somma di 2500 corone. Analoghi annunci furono pubblicati sulle riviste specializzate di tutta Europa. L'idea di mettere a concorso un premio per la miglior soluzione di problemi di matematica non era affatto nuova. Fin dal 700 infatti era stata consuetudine delle più celebri accademie quelle di Parigi, di Berlino e di Pietroburgo, attribuire periodicamente premi per la soluzione di problemi aperti in matematica. Piuttosto insolito era invece che fosse un re a bandire un simile concorso. Del resto, altrettanto inusuale nelle case reali era la predisposizione per la matematica che Oscar aveva manifestato fin da quando era un giovane studente all'università di Uppsala. Anche dopo essere salito al trono, il re aveva mantenuto un vivo interesse per questa scienza. L'organizzazione del concorso fu affidata a Gosta Mittag Leffler un giovane professore di matematica pura dell'Università di Stoccolma, che già qualche tempo prima, nel 1882, aveva potuto usufruire di un consistente sostegno finanziario per la pubblicazione di una rivista matematica, gli Acta mathematicaCome Oscar, anche Mittag Leffler aveva studiato Uppsala, dove si era laureato nel 1872. Dopo la laurea, aveva deciso di perfezionarsi a Parigi e si era presentato a Charles Hermite, professore di matematica all'Ecole Polytecnique e alla Sorbona, per seguire il suo corso di analisi matematica. Hermite era la figura dominante nel mondo matematico francese dell'epoca, un'autorità nel campo della teoria dei numeri e delle funzioni ellittiche. Inventate da Niels Abel e Carl Gustav Jacob Jacobi all'inizio del secolo, le funzioni ellittiche sono funzioni trascendenti, in qualche senso analoghe alle funzioni trigonometriche seno e coseno, e hanno trovato applicazione nei campi più diversi della matematica. Gli sviluppi della teoria delle funzioni ellittiche avevano finito per costituire uno dei capitoli centrali della matematica e non c'era un'università dove non si insegnassero. Uno dei grandi successi matematici di Hermite risaliva al 1858 quando, proprio servendosi di queste funzioni, era riuscito a trovare una formula per la risoluzione delle equazioni di quinto grado. Anche il corso di analisi di Hermite cominciava con le proprietà più semplici dei numeri e delle funzioni trigonometriche elementari e culminava nella teoria di queste nuove funzioni trascendenti. Quando Leffler si presentò a Hermite non senza sua sorpresa si sentì rispondere dal matematico francese: <<vi siete sbagliato Monsieur, dovevate andare a seguire i corsi di Weiersrasse a Berlino.  Weierstrass è il maestro di tutti noi>>. Ma solo alla fine del corso Leffler decise di seguire il consiglio di trasferirsi a Berlino. Hermite aveva ragione: la capitale prussiana era davvero il centro della matematica e, come Mittag Leffler, giovani studenti provenienti da ogni parte d'Europa affollavano le lezioni di Karl  Weierstrass. A Berlino il giovane Mittag Leffler i familiarizzò con i più moderni metodi e i più recenti risultati dell'analisi matematica. Egli stesso ottenne un teorema sulla rappresentazione delle funzioni di una variabile complessa di cui andava particolarmente fiero, poiché generalizzava un risultato del maestro. Tornato in patria, con il sostegno finanziario di re Oscar e quello scientifico di Hermite e  Weierstrass, Mittag Leffler aveva dato vita ad <<Acta Mathematica>>.

courtesy NBodyLab.org

A laboratory for experimenting with small astrophysical N-body simulations,
using a desktop GRAPE-6a supercomputer.

 Ben introdotto nei salotti dell'alta società di Stoccolma, Mittag Leffler aveva un'alta opinione di sé, che si rispecchia nelle sculture, che lo rappresentano assorto e pensoso, di cui adornò la propria immensa biblioteca, e nei ritratti di cui riempì la sua villa non lontano da Stoccolma, a due passi dal mare. Grande collezionista di libri antichi manoscritti di valore Leffler amava la buona cucina e si faceva inviare olio e vino dei suoi amici italiani. La sua brillantezza nella conversazione gli valse molte amicizie internazionali. <<Acta Mathematica>> diventò il canale attraverso cui stabilì la rete delle amicizie epistolari con i più importanti matematici del suo tempo della rivista si affermò ben presto tra le più autorevoli in Europa. Fin dal primo numero Hermite invitò a collaborarvi i propri allievi migliori, Henri Poincaré, Emil Picard, Paul Appel. Fu Leffler a suggerire al re l'idea di fare propria una tradizione che era stata delle più prestigiose accademie e di bandire un premio per la matematica. La memoria vincitrice sarebbe stata pubblicata negli <<Acta Mathematica>>. Quando si trattò di formulare la questione (o le questioni, come poi effettivamente avvenne) da mettere a concorso e decidere la composizione della commissione giudicatrice, d'esser si rivolse in primo luogo ai suoi antichi maestri, Hermite a Parigi e Weierstrass a Berlino. Il re voleva che la commissione avesse un carattere veramente internazionale, che di essa dovesse far parte anche un matematico di area angloamericana e un russo o un italiano (venne fatto il nome del presidente dell'Accademia dei lincei e Francesco Brioschi) ma le difficoltà e si rivelarono insormontabili. Per via di beghe accademiche e il premio rischiò di naufragare prima ancora di essere bandito. Mittag Leffler si rese conto ben presto che le polemiche tra i matematici berlinesi, in particolare tra Weierstrass e Leopold Kronecker, di cui aveva sentito molto parlare delle lettere dei suoi corrispondenti tedeschi, avevano ormai trasceso i confini della discussione scientifica per trasformarsi in una vera e propria rivalità personale. Hermite, da parte sua, non voleva avere nulla a che fare con le dispute dei tedeschi, lo stesso Weierstrass, vecchio e malato, avrebbe fatto volentieri a meno di esporsi. Il re, d'altra parte, premeva perché il premio avesse una risonanza adeguata al prestigio di chi lo bandiva e Mittag Leffler mise a dura prova tutta la sua abilità diplomatica e convincere i suoi interlocutori di riuscire nell'impresa. Alla fine venne deciso che Weierstrass e Hermite avrebbero formulato i problemi da mettere a concorso, e che i due avrebbero costituito la commissione giudicatrice assieme allo stesso Leffler. <<avendo preso in considerazione le questioni che, da differenti punti di vista, ugualmente attirano l'attenzione degli analisti e la cui soluzione sarebbe del massimo interesse e il progresso della scienza>>, la commissione proponeva quattro questioni. Sembra però che le prime tre fossero state suggerite da Weierstrass e solo la quarta da Hermite. Il primo quesito riguardava un classico problema di meccanica, il cosiddetto problema degli n corpi, che veniva così formulato

Dato un sistema di un numero qualunque di particelle che si attraggono reciprocamente secondo la legge di Newton, assumendo che non avvenga mai un impatto di due particelle, si propone di sviluppare le coordinate di ogni particella di una serie che procede secondo qualche funzione nota del tempo e che converge uniformemente in ogni intervallo di tempo.

A commento del problema posto, l'annuncio continuava con alcune osservazioni. <<Sembra che questo problema, la cui soluzione arricchirà in maniera considerevole la nostra conoscenza del sistema dell'universo, possa essere risolto per mezzo degli strumenti analitici che sono a nostra disposizione; questo almeno si può ragionevolmente supporre, e che poco prima della sua morte Lejeune Dirichlet ( matematico tedesco vissuto nella prima metà dell'800 ) aveva comunicato a un matematico suo amico di aver scoperto un metodo per integrare le equazioni differenziali nella meccanica e che era riuscito, applicando questo metodo, a dimostrare la stabilità del nostro sistema planetario in una maniera assolutamente rigorose. Sfortunatamente non sappiamo nulla di questo metodo. Tuttavia, si può ritenere che non fosse basato su calcoli lunghi e complicati ma sullo sviluppo di una semplice idea fondamentale, che si può sperare di trovare ancora con lo studio più serio e perseverante>>. La seconda questione richiedeva di <<ottenere una forma esplicita>> certe funzioni <<la cui esistenza era stata dimostrata da Lazarus Fuchs in un caso sufficientemente generale in modo da permettere uno sguardo e uno studio delle loro proprietà più essenziali>>. La terza proponeva <<uno studio delle funzioni definite da una equazione differenziale del primo ordine sufficientemente generale, il cui primo membro è una funzione razionale intera della variabile, della funzione e del suo primo coefficiente differenziale>>. L'ultima questione infine si richiamava alle nuove fu ioni trascendenti, <<introdotte nella scienza da Poincaré con il nome di funzioni fuchsiane e applicate con successo l'integrazione di equazioni differenziali lineari di ogni ordine>>. Queste funzioni, che <<hanno un ruolo di evidente importanza in analisi, non sono ancora state studiate dal punto di vista algebrico>>. Si proponeva allora di studiare <<la formazione e le proprietà delle relazioni algebriche che connettono due funzioni fuchsiane quando hanno un gruppo in comune>>. Il quesito sembrava un invito esplicito a Poincaré a proseguire le ricerche che lo avevano segnalato giovanissimo al mondo matematico. Del resto, lo stesso Poincaré dopo la pubblicazione del bando non fece mistero ne a Hermite ne a Mittag Leffler di aver intenzione di partecipare al concorso. <<Non ho affatto dimenticato il premio del re Oscar>>, egli scriveva al Leffler il 16 luglio 1887 <<anzi vi dirò che questo premio mi preoccupa in maniera esclusiva da un paio di mesi>>. L'ambizione era di risolvere la prima questione. E, anche se non aveva ancora ottenuto risultati completamente soddisfacenti nel caso generale, Poincaré annunciava all'amico di essere riuscito a risolvere un caso particolare, del tutto ideale, del problema dei tre corpi: quello in cui i due colpi hanno una massa finita e il terzo una massa nulla. In questo caso, i primi due descrivono una circonferenza intorno al loro baricentro, il terzo si muove nel piano della circonferenza. Egli era convinto di aver trovato <<una dimostrazione rigorosa della stabilità di una maniera per determinare i limiti precisi per gli elementi del terzo corpo>>. Che fosse questo o no il caso trattato da Dirichlet, se davvero era mai riuscito a trovare qualcosa, era certo, giungeva Poincaré, e non si doveva cercare di risolvere il problema mediante funzioni note o qualcosa del genere. Il motivo è presto detto. <<Le particolarità inaspettate che presentano le funzioni alle quali sono condotto le allontanano completamente da tutte le funzioni note>>.
alla scadenza fissata, i concorrenti erano una dozzina. Per tenere segreta l'identità dell'autore di ciascun lavoro, di rendere imparziale giudizio della commissione, i manoscritti erano identificati da un motto, mentre il nome del matematico che proponeva la soluzione era sigillato in una busta allegata. Quando la commissione cominciò a esaminare i lavori inviati, ben presto chiaro che tutti eccelleva la memoria intitolata Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique che recava il motto: Numquam praescriptos trnsibunt sidera fines (Giammai le stelle oltrepasseranno i confini prestabiliti). Anche se non conteneva la soluzione del problema generale e trattava solo un caso particolare, quel manoscritto, scriveva Weierstrass a Mittag Leffler era <<di una importanza tale che la sua pubblicazione aprirà una nuova era nella storia della meccanica celeste>>. Nel rapporto della commissione si legge che è <<l'opera profonda e originale e un genio matematico, e si è assicurato un posto tra i grandi geometri del secolo>>. All'apertura della busta, il nome dell'autore non fu una sorpresa per nessuno.