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Three quarks for Muster Mark!Sure he hasn't got much of a bark.
And sure any he has it's all beside the mark

Piero della Francesca matematico

I trattati di questo grande pittore lo pongono tra i maggiori matematici del suo tempo e lo fanno considerare uno dei primi tecnici che seppero diventare veri e propri scienziati

di:Enrico Gamba e Vico Montebelli

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Ai nostri giorni Piero della Francesca (1415 c.-1492) è universalmente riconosciuto come sommo pittore, abbastanza noto come <<prospettivo>>, quasi del tutto ignorato come matematico. Diversa e forse maggiore doveva essere la fama di Piero presso i suoi contemporanei. Se vogliamo accettare quanto scriveva Giorgio Vasari (1511-1574) nelle Vite de' più eccellenti scultori, pittori et architettori, Piero <<non si ritrasse mai dalle matematiche>> nelle quali era <<stato tenuto maestro raro>>, tanto che Euclide <<meglio che altro geometra intese>>; parallelamente i suoi dipinti riuscivano <<troppo begli e troppo eccellenti>> rispetto alle opere degli artisti del tempo. Risulta così abbozzata la figura di un pittore-matematico, primo fra tutti in entrambi campi, e viene naturale l'analogia con un altro celebratissimo <<pittore-scienziato>> più giovane rispetto a Piero: Leonardo da Vinci (452-1519). Il solito Vasari suggerisce senza volerlo un paragone presentando due personalità antitetiche. Da un lato un Leonardo tanto <<mirabile e celeste>> quanto <<vario et instabile>>, che passa dagli affreschi agli specchi, dalle macchine dell'anatomia e <<fece infinite di queste pazzie>>, tanto che Vasari è costretto a scomodare Petrarca per spiegarci come <<l'opra fusse ritardata dal desio>>; dall'altra invece un Piero razionale, sistematico, il <<migliore geometra che fusse ne' tempi suoi>>, che costruisce teorema dopo teorema, problema dopo problema <<in molti libri scritti>> che <<sono per la maggior parte nella libreria del secondo Fedrigo duca d'Urbino>>. Depurato delle componenti anedottiche  e romanzate, il confronto induce a scoprire differenze significative che consentono di meglio apprezzare l'opera matematica di Piero. I disegni tecnici e gli scritti di Leonardo, per quanto geniali e dedicati a innumerevoli argomenti, appaiono prodotti in modo disorganico, tendenzialmente erratico, secondo il canone degli appunti e degli schizzi di bottega e di cantiere. Una mente vivida e fervidissima quella leonardiana, eppure incapace di pervenire a una formulazione sufficientemente ordinata di una materia; nessuno degli scritti del grandissimo vinciano era in condizioni tali da poter essere dato alle stampe, anche se Leonardo scrisse tantissimo e i suoi codici assommano a migliaia di fogli. Per Piero vale il contrario; la sua attività di trattatista ha prodotto tre opere che insieme assommano a qualche centinaio di pagine: il Libellus de quinque corporibs regolaribus, il De prospectiva pingendi e il cosiddetto Trattato d'abaco. Tre opere matematiche a carattere vuoi applicativo vuoi <<astratto>>, molto meno appariscenti dei manoscritti di Leonardo, ma straordinariamente compatte e ordinate, specialmente considerando che l'autore apparteneva allo stato culturale dei tecnici e confrontando quindi le sue opere con gli scritti <<normali>> di tale ambito. La formazione dei tecnici durante il medioevo e il Rinascimento avveniva nelle scuole d'abaco e in bottega; era quindi un imparare e vedendo fare e facendo. L'apprendista si allenava a esercitare osservazione e il ragionamento su un sistema più o meno ampio di casi concreti, di situazioni, di problemi inerenti la professione che andava imparando. Era estranea, perché impraticabile, la nozione di un sapere teorico che precdesse la realizzazione concreta di un qualsiasi manufatto. I manuali scritti erano piuttosto rari, ma anche i nessi non c'era traccia di teoria, ossia di un corpus ordinato di dottrina. Misurati secondo i parametri attuali meriterebbero anzi la qualifica di brogliacci e di zibaldoni; spesso avevano una funzione di promemoria per chi già sapeva e risultavano quasi incomprensibili per gli altri. Il tutto era espresso in volgare, la lingua dei tecnici, mentre il latino era la lingua dei dotti; le teorie allora disponibili - teologiche, filosofiche, giuridiche, mediche, matematiche, meccaniche, astrologico-astronomiche - erano invariabilmente formulate in latino, lingua terminologicamente esatta e adeguata all'ambito dottrinario cui dava accesso. Ecco perché - chiudendo la lunga parentesi - gli scritti di Leonardo, pur nella loro eccezionalità o la non si discostano sostanzialmente dalle elaborazioni dello stato tecnico, mentre la matematica di Piero è molto più vicina al canone teorico euclideo, quindi nettamente al di sopra dello standard dei tecnici, Leonardo compreso. Il paragone tra Piero e Leonardo non vuole comunque sfociare in una graduatoria di meriti, ma serve soltanto per mettere nella giusta luce e per valorizzare adeguatamente la matematica del sommo pittore di Sansepolcro. Per una di quelle circostanze che rendono avvincente la storia, Piero e Leonardo hanno avuto risalto nella storia della matematica incontrandosi per interposta persona. Fu un concittadino di Piero, frate Luca Pacioli, a riunire nella medesima opera - la Divina proportione (Venezia, 1509) - le 60 tavole rappresentanti poliedri e figure solide tratte da disegni di Leonardo e la versione volgare del Libellus di Piero. Forse le intenzioni del Pacioli non erano del tutto cristalline, ma il suo fiuto doveva essere notevolissimo, data la scelta di mettere insieme due personaggi di tale levatura.

Accennati in qualche misura i punti generali di riferimento, si può passare alla considerazione delle opere matematiche di Piero iniziando dalla geometria. Il lavoro per così dire più astrattamente geometrico è il già ricordato Libellus, il cui contenuto va al di là di quanto afferma il titolo; la trattazione di cinque poliedri regolari occupa i due capitoli centrali, ed è introdotta da un capitolo di geometria piana e conclusa da un capitolo dedicato a cinque poliedri se mi regolari nonché ad altre figure solide. Il Libellus è opera singolare per diverse ragioni: innanzitutto, a fronte del succitato disordine di libri d'abaco e del poco spazio che la geometria vi trovava, spicca non solo il contenuto esclusivamente geometrico, ma la specializzazione nell'ambito del contenuto stesso. Piero rivitalizza oggetti di ascendenza millenaria come i poliedri - si pensi alla tradizione platonico-pitagorica - dedicando loro un'apposita opera, ed è il primo a farlo. Grazie al Libellus e alla versione e pubblicazione a stampa fattane dal Pacioli - in mancanza della quale l'opera sarebbe rimasta sepolta nella biblioteca dei duchi di Urbino - i poliedri tornano interessanti come entità matematiche, come elementi e ornamentali, come oggetti esemplari nell'ambito del disegno. Dal punto di vista storico-matematico la singolarità del Libellus deriva dall'intreccio che in esso si realizza tra geometria euclidea e matematica abachistica, ossia tra la matematica dei dotti e quella dei tecnici. Piero della Francesca e ben consapevole di essere fra i primi a tentare un'operazione del genere: infatti nella dedica a Guidobaldo da Montefeltro asserisce che la nobiltà del suo lavoro consiste nell'aver trasportato <<Le cose di Euclide e dei geometri presso gli  aritmetici>>, ovvero nell'ambito dell'abachistica. Il Libellus è abachistico perché le 140 proposizioni trattano sempre di figure geometriche con dimensioni determinate: si danno misure di grandezze e si richiede di trovare il valore numerico di altre grandezze incognite. Nel contempo però è euclideo per l'ordine logico delle proposizioni e i riferimenti sia interni sia esterni: questi ultimi rimandano agli Elementi di Euclide nonché alle opere di Archimede Sfera e cilindro e Conoidi e sferoidi, il massimo per la matematica dell'epoca. È abachistico ancora per l'assenza di dimostrazioni, almeno secondo le modalità classiche; è tuttavia molto prossimo alla lezione euclidea per l'uso consapevole e coordinato dei teoremi che non vengono degradati a regolette empiriche applicative, fatto usuale presso i tecnici, i quali a una regola esatta, ma complessa, e preferivano una regola semplice e approssimata. È abachistico infine perché nel calcolo di grandezze geometriche incognite Usa regole aritmetiche e algebriche, ma altrettante volte mette in opera procedimenti  squisitamente geometrici per raggiungere risultati analoghi. Questa mescolanza di matematica <<alta>> e <<bassa>> doveva apparire a Piero come un tutto omogeneo o perlomeno non scorrelato: rientrava - come si è visto - nel suo programma, ed è rivelatrice dei tempi nuovi che stavano maturando. Così Piero si avvale con maestria e dei teoremi del XIII libro degli Elementi, e stabiliscono le relazioni tra gli spigoli dei poliedri e la sfera circoscritta: per esempio, che lo spigolo del tetraedro e medio proporzionale all'altezza del tetraedro e il diametro della sfera circoscritta, oppure che lo spigolo del dodecaedro è la sezione aurea dello spigolo del cubo inscritto nella medesima sfera. Nel contempo, e molto tecnicamente, tabula relazioni numeriche che hanno lo stesso ufficio; ovvero, se una spera al diametro 12, i 5  corpi regolari iscritti (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro)

Per noi sono risultati particolari, ma per Piero e per tutto l'ambito abachistico erano parametri standard a cui riferirsi: infatti se il diametro della sfera diventava il triplo o la metà, bastava triplicare o dimezzare il valore dello spigolo e viceversa. Comunque, anche se in stile abachstico, Piero ricalca il modello euclideo: Euclide chiude gli Elementi proprio con un teorema che mette in relazione tra loro gli spigoli dei poliedri iscritti in una medesima sfera; Piero conclude identicamente il secondo libro del Libellus, ma in versione numerizzata, con le misure degli spigoli dei poliedri inscritti nella sfera di diametro 12.

Il fissare valori numerici il più possibile semplici dipendeva dall'abitudine tipica dell'ambiente tecnico di appoggiarsi molto sulla memoria, sia per la poca dimestichezza con la scrittura sia per conservare i segreti del mestiere; in ambito mercantile e calcolo mnemonico rapido era un'esigenza vitale per contrattazioni durante le quali bisognava fare i conti con prontezza nella tasca propria e altrui. Per questo la memorizzazione di regole in forma sintetica, alla maniera dei proverbi e di giaculatorie, e di parametri numerici era il procedimento più sicuro, economico e vantaggioso. La conseguenza matematica è il largo uso della regola del tre anche in geometria, fatto per noi abbastanza insolito. A parte l'aumento o la riduzione di scala, la regola del tre poteva avere funzioni euristiche, come nel caso della formula per l'area del Pentagono regolare. Nel quattordicesimo libro degli Elementi - allora ritenuto di Euclide come il quindicesimo - si trova la seguente formula: l'area è pari al prodotto dei tre quarti del diametro della circonferenza circoscritta per i 5/6 della corda pentagonica. Piero propone una formula più semplice <<quod invenimus>>: l'area è data dai 5/8 del prodotto del diametro della circonferenza circoscritta per la corda pentagonica. L'invenzione fa sorridere, trattandosi di una banale semplificazione di frazioni, ma probabilmente Piero non la pensava così: la nuova formula andava dimostrata e la semplificazione, con l'eventuale prova, poteva essere solo un'ulteriore conferma. Il modello dimostrativo per tutti i rami della matematica rimaneva essenzialmente quello geometrico. Per esempio già nel 1202 e Leonardo Pisano presenta dimostrazioni-ostensioni geometriche delle formule risolutive delle equazioni di secondo grado rifacendosi a proposizioni reperibili negli Elementi (per la precisione nel secondo libro). Da parte sua Piero elabora una dimostrazione della formula per l'area del Pentagono, impiegando però la regola del tre in un modo che non appartiene sicuramente all'ortodossia Euclidea. Abbiamo sottolineato, del Libellus, la decisa superiorità rispetto alla nascente manualistica: identica valutazione si può fare per il De Prospectiva pingendi. Qui Piero svolge un discorso volutamente consequenziale, elevandosi rispetto alle enumerazioni e rassegne più o meno ordinate di materiali cui pervenivano i migliori suoi contemporanei nell'ambito tecnico come Ghiberti e Francesco di Giorgio. Rispetto all'altro versante, quello della geometria dotta, Piero esibisce una perfetta interiorizzazione dell'opera euclidea, guardata tuttavia da un angolo diverso, quello abachistico. La maggiore libertà da vincoli che ne consegue porta a individuare percorsi nuovi o poco praticati: nel Libellus quello dei poliedri, o più in generale delle figure solide. Piero, per esempio, di riprendere il tema delle reciproche inclusioni di poliedri regolari, svolto nel quindicesimo libro degli  Elementi, aggiungendo una nuova inclusione, quella dell'icosaedro nel cubo. A raggiungere questi risultati è Piero pittore prima che Piero matematico, ammesso che i due siano separabili. È sola da questo scritto a occuparsi di Piero come <<prospettivo>>: tuttavia gli si deve riconoscere un posto legittimo tra i fondatori del moderno disegno tecnico e geometrico. Raffrontando i suoi disegni, come quello dell'icosaedro inscritto nel cubo , con le figure geometriche che illustrano le edizioni di Euclide dall'epoca, si vide che sono separati da un divario abissale. Piero disegna consapevolmente una notevolissima assonometria, preferita alla rappresentazione e prospettica perché più adatta a esprimere con esattezza il discorso geometrico: così più che un progresso compie un vero salto di qualità. L'inclusione è <<vista>> e <<tracciata>> prima che dimostrata, a partire da proprietà geometriche. Se il Nostro porta Euclide nel campo abachistico, è anche vero che sa trasportare l'abilità dell'artista in campo geometrico con eccellenti risultati. In questa e in parallele produzioni di altri autori si riflette la crescente domanda da parte dei tecnici di apparati grafici rispondenti e inequivocabili, coerentemente con l'abito dei tecnici di ragionare a imparare il più dalle illustrazioni e dalle deduzioni scritte. Rivolgendo nuovamente l'attenzione ai collegamenti con la componente dotta del mondo matematico, si può notare che Piero riesce a proseguire nelle sue ricerche dove esponenti della cultura dotta si erano arrestati: è quanto tiene a farci sapere in una delle rarissime e telegrafiche notazioni che si concede nei suoi trattati, assai poco loquaci al di là dell'oggetto specifico. Gli viene superato e Giovanni Campano da Novara, autore nel secolo XIII di un'edizione commentata della versione dall'arabo in latino degli Elementi di Euclide, usatissima nel medioevo e nel Rinascimento. Il problema concerne il solido a 72 facce, del quale Piero riesce a calcolare superficie e volume. La superficie è la somma delle superfici di 24 triangoli isosceli e il 48 trapezi isosceli; il volume è la somma dei volumi delle corrispondenti 24 piramidi a base triangolare e 48 a base  trapezioidale - tutte col vertice nel centro della sfera circoscritta - delle quali Piero trova l'altezza in perfetta modalità Euclidea. Volendo parlare di numeri come fa Piero, il corpo ha come <<equatore>> e <<meridiani>> dodecagoni regolari di dato 2; diametro della sfera circoscritta e calcolato in  √32+√768;

la superficie vale: √540+√2160+√248832+√2239488+√3996+√3048192+√5038848.

Questo è il risultato così come lo riferisce Piero, a parte la modernizzazione dei simboli. All'epoca non si usava la notazione decimale né per i numeri razionali, né per gli irrazionali. Risparmiamo al lettore il risultato del volume che vede sotto radice una trentina di numeri interi e frazionari, il tutto senza errori di calcolo. Il problema del corpo 72 facce a un interesse architettonico particolare, e che si collega la costruzione delle cupole; corpi analoghi erano usati anche per la costruzione di globi geografici e astronomici. La mia risolutiva di Piero è del tutto generale: sarebbe cioè valida anche se il solido, anziché essere costruito a partire da dodecagoni, fosse costruito su altri poligoni regolari. È il caso di mettere in evidenza una svolta decisiva che inizia a configurarsi. L'estensione e l'incremento dei ritrovati tecnici genera l'esigenza di oltrepassare la pura empiria, adottando procedure matematiche di ordine superiore. Piero si dimostra consapevole in altri due problemi che paiono proprio sue originali elaborazioni: il calcolo del volume della volta a padiglione e della superficie della volta a crociera. L'occhio del matematico guarda le realizzazioni tecniche e trova nuove linee di ricerca. Qui Euclide non può essergli di aiuto e Piero, mettendo in opera spericolate analogie con i procedimenti archimedei, giunge sorprendentemente risultati esatti che testimoniano ancora una volta un sensibile fiuto matematico. Il suo solito modo laconico Piero fa comprendere che ritiene di aver raggiunto qualcosa di superiore rispetto all'ordinario. Eseguiti i calcoli del volume della superficie delle volte a padiglione e a crociera - tacendo le ragioni del procedimento dotato, dato che gli iscritti abachistici sono prescrittivi e quasi mai esplicativi - glielo trasgredisce le abitudini dei <<pratici>> e si impegna nella spiegazione della via che l'ho portato a quel calcolo; in altre parole, ci concede uno sguardo nel suo retrobottega del quale evidentemente doveva andare fiero. La spiegazione a un tenore analogico-intuitivo e non è modello di chiarezza, ma da un autore quattrocentesco non ci si può attendere di più, nonostante l'esattezza del risultato.
In sintesi, Piero è uno dei pochissimi che dimostra di sapersi muovere agilmente tra il <<massimo sistema>> della matematica euclideo-archimedea e il <<minimo sistema>> della matematica abachistica, fatto nuovo e rilevante destinato ad affermarsi sempre più lungo il  '500. Dicevamo all'inizio delle scuole d'abaco, istituzione che si diffonde rapidamente in Italia a partire dal 1200 per soddisfare le esigenze di istruzione dei mercanti, degli artigiani, degli artisti e in generale dei tecnici. La parola abaco non indica più il vecchio strumento di calcolo, bensì la disciplina, o anche il testo scritto e persino la stessa scuola, come dimostrano modi di dire diffusi: <<andare all'abaco>>, <<avere buon abaco>> e simili. Le scuole d'abaco sono paragonabili agli odierni istituti professionali e l'insegnamento era centrato sulla matematica trasmessa in chiave calcolistico-applicativa. Il metodo dei maestri d'abaco era quello del problem solving: si forniva all'allievo una ricca casistica di problemi tipici - compravendita, cambio, leghe, capitalizzazione, misurazioni - collegati alle esigenze professionali. Una simile impostazione, che mira alla risultato quantitativo, costituisce l'aspetto di maggiore originalità rispetto alla tradizione euclidea e promuove un forte interesse verso l'algebra come metodo efficace per risolvere problemi anche geometrici. Oltre all'introduzione delle cifre arabe, il grande merito storico degli abachisti è di aver diffuso e sviluppato durante il medioevo la conoscenza dell'algebra in Italia e in Europa. Nella storia d'algebra Piero della Francesca si colloca alla vigilia di quel fondamentale avanzamento costituito dalla risoluzione delle equazioni di terzo grado e nella fase di transizione da un'algebra retorica a una sincopata, cioè da un'algebra esposta discorsivamente a un'algebra che introduce le abbreviazioni e i primi simbolismi. Il testo in cui Piero raccoglie le sue ricerche algebriche è il Trattato d'abaco, titolo convenzionale assegnato in epoca moderna perché mancante del manoscritto. È un testo anomalo rispetto ai consueti abachi sia per l'estensione della parte geometrica - 147 problemi su 492 - sia per l'ampiezza e la profondità della parte algebricha; quest'ultima anzi meriterebbe al Trattato d'abaco il sottotitolo di "libro d'algebra", dato che il 45% dei problemi è risolto con procedimento algebrico. La presenza dell'algebra non è massiccia solo in senso quantitativo - moltissimi problemi erano già risolti per via aritmetica o algebrica a seconda dei gusti e delle conoscenze degli autori - ma più ancora in senso qualitativo. Piero classifica risolve ben 61 tipi di equazioni - di cui però 13 sono ripetuti - dal primo grado fino al sesto. Una casistica così insolitamente ampia per noi, ma comune per gli abachisti, ha due motivi: uno culturale e un altro più strettamente matematico. Il primo preferibile all'abito mentale che si acquisiva nelle scuole d'abaco, dove non era praticato un riferimento a una teoria, né in geometria dove esisteva la teoria euclidea, né in algebra dove la generalizzazione non poteva andare oltre alcune regole specifiche. Gli allievi venivano per così dire programmati a risolvere un insieme significativo di problemi tipici della pratica professionale; davanti a una questione particolare l'abilità dell'allievo consisteva nel saper ricercare entro la casistica studiata, e soprattutto memorizzata, l'esempio più consono per trovare la soluzione. Il motivo matematico è che si lavorava con equazioni a coefficienti positivi, in quanto l'algebra si fondava sulla geometria e in tale ambito venivano interpretate le soluzioni e i coefficienti delle incognite; per esempio risolvere l'equazione x^2 uguale quattro X. significava trovare il lato di un quadrato di area 4 X. ciò spiega perché non si consideravano le soluzioni nulle e negative - salvo casi rarissimi - e perché, per esempio, le equazioni di secondo grado erano classificate nei tipi seguenti: 
ax² + bx=c;   ax² + c=bx ;   ax²=bx + c      con a, b, e c positivi; ognuno dei tre tipi aveva la sua regola risolutiva. Per le equazioni di grado superiore al secondo, Piero considera equazioni razionali e irrazionali abbassabili di grado, e questa non è una novità, così come non lo era la risoluzione delle equazioni che oggi chiamiamo binomie e biquadratiche. Piero approda a errori, ma anche ad alcuni risultati interessanti quando esce dal contesto tradizionale per avventurarsi nella terra incognita di altri tipi di equazioni, quali: ax³=bx + c;    ax³=bx ² + c;   ax³=bx² + cx +d
che, sorprendentemente, risolve come se fossero il secondo grado; nell'ultima equazione considera infatti (cx + d) come termine noto. È un caso abbastanza usuale di sfruttamento dell'analogia, da sempre una potente risorsa del pensiero tecnico e scientifico; ma purtroppo non tutte le analogie funzionano a dovere. Stupisce che Piero sia caduto in un errore così banale, che non abbia nemmeno seguito la prova del risultato ottenuto, come pure era abitudine tipica degli abachisti; stupisce ancor più se si pensa che nel Libellus esegue con esattezza calcoli complicati con numeri che superano le 10 cifre e che nelle 140 proposizioni che lo compongono non commette alcun errore e di impostazione. A nostro parere ciò conferma il carattere sperimentale del Trattato d'abaco . Piero rivela per così dire l'area che andava esplorando, vuoi a tentoni, vuoi con qualche ipotesi di lavoro, rendendo così un canone della trattatistica, secondo cui si mettevano per iscritto solo i risultati assodati e largamente condivisi. Può esserci un'altra spiegazione più prosaica, e cioè che Piero abbia copiato senza controllare questi problemi, secondo un costume molto diffuso tra i compilatori di libri d'abaco. Il sospetto giustificato dal fatto che in due abachi trecenteschi si trovano gli stessi problemi con gli stessi errori. Il carattere sperimentale Trattato d'abaco è però confermato da come Piero affronta tre equazioni dal terzo al sesto grado proponendo formule risolutive corrette o per una singola equazione - qui evidentemente deve avere seguito la prova - o per equazioni provenienti da una classe prefissata di problemi. Eccone un esempio: calcolare a quanti denari viene prestata una Lira al mese (una lira uguale 240 denari) sapendo che 100 Lire alla fine di quattro anni danno come montante 160 Lire. Il risultato lo dà l'equazione:

È facile verificare che la formula di Piero ha una validità più generale, in quanto risolve correttamente non sono queste equazione ma tutte quelle che provengono dalla seguente classe di problemi: calcolare a quanti denari viene prestata una lira al mese sapendo che C lire alla fine di 4 anni danno come montante M Lire. Infatti si perviene all'equazione:

x⁴  + 80x³  + 2400x³ 3200x = M/C 160000 - 160000,

risolta dalla formula precedente: X ^{= (4}√160000 M/C) - 20

A dire il vero in Piero Della Francesca  non c'è questa considerazione, anzi la formula viene erroneamente presentata come risolutiva dell'equazione generale ax⁴ + bx³ + cx² + dx = e
e il problema finanziario compare come semplice e semplificazione della sua validità. Ciò non toglie che egli sia riuscito a risolvere un'equazione di quarto grado particolare e altre di terzo e quinto grado ottenibili dallo stesso problema relativo alla durata di 3.o 5 anni. A questo risulta dalle fonti, alcune di queste formule si trovano solo in Piero e quindi sono a lui attribuibili. Senza dubbio l'imminente scoperta della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado proviene dall'abilità nelle manipolazioni dei coefficienti, che Piero dimostra di aver maturato, dall'incoraggiamento fornito dai successi parziali. Sperimentale infine è anche la notazione algebrica utilizzata da Piero, una notazione reperibile, pur con varianti, in qualche altro autore e comunque destinata a scomparire ben presto, lasciando solo la traccia della vivacità di interessi e molteplicità dei tentativi intorno l'algebra. Tutto questo conferma la piena e consapevole partecipazione di Piero al dibattito algebrico della seconda metà del Quattrocento, nella quale occupa sicuramente una posizione di riguardo. Chiudendo il bilancio si può riconfermare la definizione di Piero come pittore-matematico piuttosto che come <<uomo universale>>; ciò non per sottrargli importanza, ma per collocarlo nella storia della scienza tra i primissimi tecnici e seppero diventare scienziati, fenomeno questo - assieme a quello inverso di scienziati che seppero aprirsi alle tecniche - a nostro parere decisivo nell'interno di quel processo noto come <<rivoluzione scientifica>>.