Il culmine della Rivoluzione scientifica si identifica con la scoperta della
legge della gravitazione universale a opera di Newton: tutti gli oggetti si
attraggono reciprocamente con una forza che è direttamente proporzionale al
prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza. Riuscendo a trattare mediante una singola legge matematica i
principali fenomeni fisici dell'universo osservabile, Newton dimostrò che fisica
terrestre e fisica celeste sono una sola fisica. D'un sol colpo il concetto
della gravitazione universale rivelò il significato fisico delle tre leggi dei
moti planetari di
Keplero, risolse
lo spinoso problema
dell'origine delle maree e rese ragione dell'osservazione curiosa e inspiegata
di Galileo che la discesa di un corpo in caduta libera è indipendente dal suo
peso. Newton aveva realizzato l'obiettivo di Keplero di sviluppare una fisica
fondata su cause. La fondamentale scoperta della gravitazione universale, che
divenne il paradigma di una scienza trionfante, non fu il risultato di un lampo
di genio isolato, ma il culmine di una serie di esercizi nella soluzione di
problemi. Fu un prodotto non dell'induzione ma di deduzioni logiche e di
trasformazioni di idee esistenti. La scoperta della gravitazione universale
ribella quella che io credo sia una fra le caratteristiche principali di ogni
progresso scientifico, delle più semplici innovazioni alle rivoluzioni più
drammatiche: la creazione di qualcosa di nuovo attraverso la trasformazione di
nozioni esistenti. Newton lo sviluppò il concetto di gravitazione universale nei
primissimi mesi del 1685, ha 42 anni. I fisici hanno dato di solito i loro
massimi contributi in età molto più giovane, ma Newton si trovava ancora in
quelli che definì <<nei primi anni della mia vita per l'invenzione>>. I
documenti che mi hanno consentito di datare la scoperta rendono possibile anche
una ricostruzione del processo che condusse a essa. Un passo decisivo sulla via
verso la gravitazione universale fu compiuto fra la fine del 1679 e l'inizio del
1680, quando Robert
Hooke introdusse Newton a un modo nuovo di analizzare un moto lungo una
traiettoria curva. Hooke si era reso conto che il moto di un corpo orbitante
aveva due componenti,1 componente iniziale e una componente centripeta, ossia in
diretta verso il centro. La componente inerziale tende a far muovere il corpo su
una linea retta tangente all'orbita curva, mentre la componente centripeta lo
attrae continuamente facendolo deviare dalla traiettoria rettilinea inerziale.
In un'orbita stabile come quella della Luna le due
componenti si fanno equilibrio, cosicché la Luna non si
allontana lungo una traiettoria rettilinea ne discende a spirale verso la
Terra. Il concetto di forza centripeta sostituì la nozione anteriore, e sviante,
di forza centrifuga, in un allontanamento dal centro. René Descartes e
Christiaan Huygens avevano analizzato moti curvi in funzione di una tale forza
centrifuga. Descartes, per esempio, aveva investigato il moto di una palla sulla
superficie interna di un cilindro cavo e il movimento dell'acqua in un secchio
mosso velocemente in cerchio. La palla e l'acqua sembravano fuggire dal centro
del sistema, così che Descartes ne attribuì il moto all'influenza di una forza
centrifuga. Ora era chiaro che una tale forza non esiste; una forza centrifuga
non può essere ricondotta all'interazione fra oggetti fisici. L'illusione di una
forza centrifuga si verifica quando un oggetto in movimento viene osservato da
un sistema di riferimento in rotazione.
Col mutamento di prospettiva dalla
forza centrifuga alla forza centripeta si pervenne a un apprezzamento della
funzione fondamentale del corpo centrale. L'analisi centrifuga si era
concentrata sull'oggetto in rotazione, il cui <<sforzo per allontanarsi>> dal
centro e sembra indipendente dalle proprietà del corpo centrale. Il concetto di
una forza centripeta dipende invece fondamentalmente dal corpo centrale, verso
cui l'oggetto in rivoluzione viene attratto. L'analisi compiuta da Hooke del
moto curvo potrebbe sembrare una conseguenza così ovvia e immediata del
principio di inerzia cartesiano da dar l'impressione che Newton non avesse certo
bisogno che Hooke lo istruisse sull'argomento ancora nel 1679. Newton aveva
infatti già più o meno accettato il principio inerziale una ventina d'anni
prima. Ma Newton, come Descartes e Huygens, era così impantanato nel
concetto di forza centrifuga da avere tutt'altro che chiare le piene
implicazioni della fisica inerziale. Il 24 novembre 1679 Hooke scrisse a Newton
proponendogli di avviare una corrispondenza <<filosofica>> arrivata su argomenti
scientifici di reciproco interesse. Sei anni prima in essi avevano avuto uno
scontro pubblico sugli esperimenti e sulle teorie di Newton a proposito della
disperazione della luce per mezzo di un prisma e della natura del colore. Hooke
era solo uno fra i vari ricercatori che arrivano rifiutato le teorie ottiche di
Newton. Newton fu così irritato dal fatto di dover difendere la sua opera che
giurò di abbandonare la <<filosofia>> (la scienza fisica), poiché essa era una
<<Signora così litigiosa>> che un uomo avesse avuto qualcosa a che fare con lei
avrebbe dovuto spendere il resto della sua vita a difendere le sue opinioni.
Hooke era poi diventato segretario della Royal Society di Londra. Nonostante la
citata controversia sull'ottica, la sua lettera Newton era amichevole e
benevola. Invitava Newton a commentare qualsiasi delle sue ipotesi su opinioni,
in particolare la nozione che i moti dei pianeti fossero composti da <<un moto
diretto per la tangente di un moto di attrazione verso il corpo centrale>>. Fu a
quanto pare questa frase a richiamare l'attenzione di Newton sull'idea di
decomporre un molto curvo in una componente inerziale e in una componente
centripeta. Tuttavia non esiste alcuna prova del fatto che Newton avesse ancora
raggiunto il livello di Hooke nella comprensione del moto circolare. In effetti
Newton non continuava spesso a parlare di moto orbitale nei termini di forza
centrifuga. Nella sua lettera Hooke azzardava il suggerimento che la forza
centripeta che attrae un pianeta verso il Sole vari inversamente al quadrato
della distanza. A questo punto Hooke era perplesso. Egli non riusciva a vedere
le conseguenze dinamiche della sua profonda intuizione e perciò non era in grado
di fare il salto dal livello dell'intuizione e della congettura a quello della
scienza esatta. Non riusciva ad andare oltre perché gli mancavano sia la
genialità matematica di Newton sia un apprezzamento della legge kepleriana delle
aree, la quale figurò con grande rilievo nel successivo studio della dinamica
celeste da parte di Newton. La legge delle aree e dice che il raggio vettore che
unisce il Sole a un pianeta descrive e tempi uguali aree uguali. Il 28 novembre
Newton rispose a Hooke dicendogli che prima di leggere la sua lettera del 24 non
aveva mai <<sentito parlare (a quanto posso ricordare) della sua ipotesi che i
moti celesti dei pianeti siano composti da un moto diretto per la tangente della
curva>> e da un moto <<di attrazione >> verso il Sole. Dopo aver ammesso che
l'analisi di Hooke era nuova per lui, Newton cambiò immediatamente argomento
passando a una sua fantasticheria: l'effetto della rotazione della Terra
su un oggetto in caduta libera. Se un oggetto lasciato cadere potesse passare
attraverso la Terra in rotazione, quale traiettoria descriverebbe? Newton
concluse erroneamente che seguirebbe una traiettoria a spirale. Nella successiva
lettera di Hooke, datata nove dicembre, queste colse l'errore di Newton e
sottolineò che la traiettoria <<assomiglierebbe a un'ellisse>>. Hooke era
ansioso che Newton affrontasse il problema del moto dei pianeti, cosicché gli
suggerì che la corretta descrizione di un oggetto in caduta attraverso la Terra
e della sua propria analisi del moto planetario erano due casi di <<moti
circolari composti da un moto diretto e da un moto di attrazione verso un centro
>>.
Il 13 dicembre 1679 Newton rispose
cautamente alla correzione di Hooke, ma non fece commenti sull'analisi del moto
circolare che gli veniva suggerita. Hooke non rinunciò. In una lettera scritta
in data sei gennaio 1680 tornò alla sua tesi del moto curvo e ripeté la
supposizione quantitativa che l'attrazione centripeta sia inversamente
proporzionale al quadrato della distanza. Da questa supposizione Hooke concluse
che la velocità del corpo in rivoluzione è inversamente proporzionale alla
distanza dal centro. E gli sottolineò poi della sua analisi <<spiega in modo
molto intelligibile e vero tutte le apparenze celesti >>. Newton non rispose a
questa lettera. Il 17 gennaio Hooke gli inviò una breve lettera supplementare in
cui scrisse:<<ora rimangono da conoscere le proprietà di una linea curva (l'onda
circolare né concentrica) prodotta da una forza attrattiva centrale, la quale
rende le velocità di discesa dalla linea tangente o da un moto rettilineo
uniforme, a tutte le distanze, in proporzione duplicata reciprocamente persa>>.
In terminologia moderna, il problema di Hooke può essere parafrasato nel modo
seguente: se una forza di attrazione centrale costringe un oggetto a deviare
dalla sua traiettoria inerziale e a muoversi in una curva, quale tipo di curva
si ottiene se la forza di attrazione varia in proporzione inversa al quadrato
della distanza? Hooke concluse: <<non ho dubbi sul fatto che, grazie al suo
metodo eccellente, Lei troverà facilmente di quale curva debba trattarsi, e
quali siano le sue proprietà, e suggerirà una ragione fisica di tale proporzione
>>. Newton, quanto pare, per vende quasi ad assolvere il compito assegnatogli da
Hooke. Dimostrò che un'ellisse avrebbe soddisfatto le condizioni da lui poste.
Nondimeno, non comunico i risultati della sua dimostrazione ne ha Hooke ne ad
alcun altro sino all'agosto 1684, quando ricevette la visita dell'astronomo e
matematico Edmund Halley. Halley si recò a far visita a Newton per chiedergli
<<quale pensava sarebbe stata la curva descritta dai pianeti nell'ipotesi che la
forza di attrazione verso il Sole fosse reciproca al quadrato della loro
distanza da esso>>. Il problema era stato lungamente discusso dalla Royal
Society. Halley e Christopher Wren furono incapaci di risolverlo, e Hooke non
pubblicò mai una soluzione, pur sostenendo di essere riuscito a trovarla. Udita
la domanda, Newton rispose immediatamente: un'ellisse. Halley gli chiese come lo
sapesse e Newton replicò:<<L'ho calcolata>>. A quanto pare Newton non riuscì a
trovare i calcoli, ma su richiesta di Halley li scrisse per la Royal Society nel
piccolo trattato De motu (Sul moto). Nel De motu Newton
descrisse le sue indagini sulla dinamica terrestre e celeste, ivi comprese le
sue idee sul moto in uno spazio libero e in un mezzo resistente. Newton e doveva
aver già terminato il De motu il 10 dicembre 1684, poiché in quella data
Halley disse alla Royal Society che Newton gli aveva mostrato recentemente quel
curioso trattato. L'esatta evoluzione delle idee di Newton nel periodo
intercorso fra la sua corrispondenza con Hooke e il completamento della prima
stesura del De motu non è documentata. Sono certo nondimeno che sia stato
proprio il metodo di Hooke dell'analisi del moto curvo a mettere Newton sulla
pista giusta. Anche se non tutti gli storici saranno d'accordo con me, io credo
che il modo di affrontare la dinamica terrestre e celeste ha adottato dal Newton
del De motu, e che egli sviluppò ulteriormente nella primavera seguente
del libro I dei Philosophiae naturalis principia mathematica, rappresenti il suo pensiero
sulla dinamica planetaria quale gli era stato ispirato dalla corrispondenza
epistolare con Hooke. In alcuni manoscritti autobiografici, Newton disse che la
corrispondenza con Hooke fu anteriore o contemporanea alla sua dimostrazione
(pubblicata per la prima volta nel De motu e poi nei Principia)
che un oggetto che si muove di moto di inerziale e che è simultaneamente
soggetto a una forza centripeta la quale varia in regione inversa al quadrato
della distanza si muove lungo un'orbita ellittica. Fu questa dimostrazione a rivelare il
significato fisico della legge delle orbite ellittiche di Keplero (la legge dice
che ciascun pianeta si muove su una traiettoria ellittica di di cui il Sole
occupa uno dei fuochi). Il lettore moderno potrebbe essere sorpreso nel sentire
che non fu Keplero bensì Newton a rivelare la natura fondamentale delle leggi
kepleriane e dei moti planetari. Prima della pubblicazione dei Principia
queste leggi (che erano chiamate addirittura ipotesi) non erano tenute nella
considerazione di cui hanno invece goduto e ininterrottamente dopo Newton. La
legge kepleriana delle aree, in particolare, non godette di molta considerazione
nel 600. La maggior parte delle opere di astronomia non la citavano neppure. Per
esempio, l'Astronomia Carolina
di Thomas Streete, da cui Newton copiò la terza legge di Keplero (secondo la
quale il cubo della distanza media di un pianeta dal Sole è proporzionale al
quadrato del suo periodo orbitale), non parla mai della legge delle aree e
neppure accenna alla sua esistenza. La maggior parte degli astronomi del 600
calcolavano le posizioni dei pianeti non con la legge delle aree, ma con una
costruzione fondata su un vettore in rotazione uniforme emanante dal fuoco
vuoto dell'orbita ellittica del pianeta (vedi figura)
La posizione di un pianeta in moment
successivi (P1, P2.....P5)
è l'intersezione dell'ellisse e del raggio vettore. La legge
delle aree formulata da Keplero dice che il raggio vettore che unisce il Sole al
pianeta descrive in tempi uguali aree uguali. Di conseguenza il pianeta è più
lento all'afelio.
Poiché gli astronomi usavano raramente la legge delle aree,
Newton dovette avere una percezione straordinaria per scorgerne il significato.
Egli fu l'unico a elevare la legge delle aree di Keplero alla considerazione di
cui essa gode tuttora. La primissima proposizione dei Principia (e la
discussione contenuta all'inizio del De motu) sviluppano il significato
dinamico della legge delle aree dimostrando che il moto curvo descritto dalla
legge è una conseguenza della forza centripeta. La dimostrazione, che è
suddivisa in tre parti, ci mostra quanto bene Newton avesse appreso la tecnica
di Hooke della scomposizione del moto curvo in una componente inerziale e
una componente centripeta. Nella prima parte della dimostrazione, Newton
considera un corpo in moto lungo una linea retta con velocità costante. La linea
è divisa in intervalli uguali per indicare che il corpo percorre in tempi uguali
distanze uguali. A una distanza h al di sopra della linea del moto è scelto un punto P. I triangoli formati
unendo il punto P con gli estremi di ciascuno degli intervalli uguali
hanno la stessa area, essendo tutti i triangoli di ugual base e di uguale
altezza h. Con questa semplice analisi Newton rivelò l'esistenza di una
relazione inattesa fra il moto inerziale e la legge delle aree. Nella seconda
parte della dimostrazione il corpo si muove inizialmente come prima, ma alla
fine del secondo intervallo riceve una forza impulsiva - una spinta - verso P.
Perciò nel terzo intervallo il corpo non si muove più lungo la linea retta
originaria, ma lungo un'altra linea retta più vicina a P. Newton dimostrò
di nuovo geometricamente che il triangolo formato unendo P agli estremi
del tratto percorso nel terzo intervallo ha la stessa area del triangolo formato
collegando P agli estremi del tratto percorso nel secondo intervallo. Nella terza
parte il corpo riceve un impulso verso P alla fine di ciascun intervallo.
Di conseguenza viene a muoversi su una traiettoria poligonale attorno a P.
In ogni intervallo continua a valere la legge delle aree. Nel caso limite in cui
l'intervallo fra due impulsi consecutivi si approssimi a zero, il corpo soggetto
una forza continua diretta verso P e la traiettoria poligonale diventa
una curva o un'orbita continua. In questo modo Newton dimostrò che una forza
centripeta genera una curva che obbedisce alla legge delle aree. La seconda
proposizione dei Principia dimostra l'inverso: il moto lungo una curva
che obbedisce alla legge delle aree implica una forza centripeta. Con queste due
proposizioni Newton dimostrò che la legge delle aree è una condizione necessaria
e sufficiente per il moto inerziale in un campo di forza centrale. Le due proposizioni fanno parte di una
serie di dimostrazioni che comincia con la legge delle aree e si conclude con
una dimostrazione del fatto che un'orbita ellittica richiede una forza
centripeta che obbedisca alla legge della proporzionalità inversa alla distanza.
Questa serie di dimostrazioni, presentata sia nei Principia sia nel De
motu, segna una profonda discontinuità nella storia delle scienze esatte.
Queste dimostrazioni produssero infatti una dinamica celeste radicalmente nuova
fondata su nuovi concetti di forza, di quantità di moto, di massa e di inerzia e
su una misura quantitativa totalmente nuova della forza dinamica. Il sottotitolo
dell'Astronomia nova di Keplero proponeva l'obiettivo di creare una
<<fisica e celeste fondata su cause>>. Newton realizzò questo obiettivo, di cui
Keplero aveva avuto solo un'intuizione. Né Galileo né Descartes avevano
concepito una tale dinamica celeste. E la formulazione newtoniana lasciò molto
indietro anche grande fisico Huygens.
Dalla prima stesura del De motu,
scritta probabilmente nel novembre 1684, il chiaro che Newton non aveva ancora
sviluppato il concetto di gravitazione universale. Vi si discute infatti da
forza centripeta diretta verso il fuoco di un'ellisse e vi si conclude con lo
scolio seguente: <<Perciò i pianeti maggiori orbitano in ellissi aventi un fuoco
del centro del Sole, e i raggi tirati [dai pianeti] al Sole descrivono
aree proporzionali ai tempi, esattamente come suppose Keplero... >>. Newton non
dimostrò questo scolio, ne continuò a credere in esso per molto tempo, e a
rigore esso è falso. Come egli si rese conto ben presto, i pianeti non si
muovono secondo la legge delle aree in orbite ellittiche kepleriane semplici con
il Sole in uno dei fuochi. Il fuoco si trova invece nel comune centro di
massa, poiché non è soltanto il Sole ad attrarre ciascun
pianeta, ma anche ciascun pianeta ad attrarre il Sole (e ad attrarsi
reciprocamente). Se Newton a quest'epoca avesse già formulato il suo principio
della gravitazione universale, non avrebbe proposto questo scolio erroneo.
Newton e si rese conto rapidamente di non aver dimostrato che i pianeti si
muovono precisamente secondo la legge delle orbite ellittiche e secondo la legge
delle aree. Egli aveva trovato solo che le leggi valgono per un sistema a un
corpo solo: una singola massa puntiforme in moto con una componente iniziale di
moto inerziale in un campo di forza centrale. Riconobbe che il sistema a un
corpo non corrisponde al mondo reale, ma a una situazione artificiale che è più
facile da investigare matematicamente. Sistema a un corpo riduce la Terra a una
massa puntiforme e il Sole al centro di forza immobile. Ciò che consentì al
Newton e di andare oltre il sistema a un corpo fu una presa di coscienza delle
conseguenze della sua terza legge del moto: la legge di azione e reazione.
Questa legge è forse la più originale delle sue tre leggi del moto ( le altre
due sono le leggi di inerzia e la legge della forza ). Un indizio della sua
novità può essere visto nel fatto che ancor oggi essa viene spesso usata in modo
sbagliato da chi la riferisce non a una situazione di impatto o all'interazione
fra corpi, ma a una supposta condizione di equilibrio. Lo sviluppo del pensiero di Newton e
sull'azione e reazione dopo che egli ebbe completato la prima stesura del De
motu è esposta nelle sezioni di apertura del libro I dei Principia.
Nell'introduzione alla sezione XI Newton e spiega che fino ad allora si era
limitato a una situazione <<pressoché inesistente nel mondo reale>>, ossia ai
<<moti di corpi attratti verso un centro immobile>>. Tale situazione era
artificiale perché <<Le attrazioni sono dirette abitualmente verso corpi e -per
la terza legge del moto- le azioni di corpi che attraggono e che sono attratti
sono sempre reciproche e uguali>>. Perciò, <<se ci sono due corpi, né il corpo
che attrae nel il corpo che è attratto possono essere in quiete>>. È vero
piuttosto che <<entrambi i corpi (per il quarto corollario delle leggi) orbitano
attorno a un centro comune, come in virtù di una reciproca attrazione>>. Newton si era reso conto che, se il
Sole e esercita un'attrazione sulla Terra, anche la Terra deve esercitare una
trazione sul Sole con una forza di eguale grandezza. In questo sistema di
due corpi, la Terra non si muove in un'orbita semplice attorno al
Sole. Il Sole alla Terra si muovono invece attorno al loro comune centro di
gravità. Un'altra conseguenza della terza legge del moto è che ciascun pianeta
è, oltre che un corpo attratto, anche un centro di forza di attrazione; ne segue
che un pianeta non solo attrae ed è attratto dal Sole, ma attrae anche ciascuno
degli altri pianeti e ne è a sua volta attratto. Qui Newton ha compiuto un
fondamentale passo avanti, passando dal sistema di due corpi interagenti a un
sistema costituito da molti corpi interagenti. Nel dicembre 1684 viottolo
coperto una stesura riveduta del De motu nella quale i moti dei pianeti
sono descritti nel contesto di un sistema di molti corpi interagenti. A
differenza della stesura anteriore, quella riveduta conclude che <<i pianeti non
si muovono esattamente su ellissi né percorrono due volte la stessa orbita>>.
Questa conclusione condusse Newton al risultato seguente: <<ci sono tante orbite
di un pianeta quante sono le sue rivoluzioni, come nel caso della Luna, e
l'orbita di ciascun pianeta dipende dal moto combinato di tutti i pianeti, per
non menzionare le azioni che si esercitano reciprocamente l'uno sull'altro>>.
Newton aggiunse poi: <<Una considerazione simultanea di tutte queste cause di
moto e una definizione di questi moti per mezzo di leggi esatte che ammettano
calcoli convenienti superano, se non sono in errore, la forza dell'intero
intelletto umano>>. Non c'è alcun documento che indichi come, nel mese circa
intercorso fra la prima stesura del De motu e la sua revisione, Newton
sia pervenuto a percepire che i pianeti agiscono gravitazionalmente l'uno
sull'altro. Il passo citato sopra esprime nondimeno questa presa di coscienza in
un linguaggio privo di ambiguità: <<eorum omnium actiones in se invicem>>
(le azioni che si esercitano reciprocamente l'uno sull'altro). Una conseguenza
di questa attrazione gravitazionale reciproca è che nessuna delle leggi di
Keplero è valida in modo rigoroso nel mondo della fisica ma tutte e tre sono
valide solo per una costruzione matematica in cui masse puntiformi che non
interagiscono tra loro orbitino o attorno a un centro di forza matematico o
attorno a un corpo immobile che eserciti una forza di attrazione.
La distinzione stabilita da Newton
fra il regno della matematica, in cui le leggi di Keplero sono veramente leggi,
e il regno della fisica, in cui esse sono solo <<lpotesi>>, o approssimazioni, è
uno dei caratteri rivoluzionari della dinamica celeste newtoniana. Ho supposto che la terza legge del
moto sia stata fattore chiave nel ragionamento che condusse Newton a suggerire
l'esistenza di perturbazioni gravitazionali reciproche delle orbite planetarie.
A favore del mio assunto non c'è alcuna prova diretta, in quanto non esiste
alcun documento che ci dia una versione anteriore dell'espressione <<le azioni
che si esercitano reciprocamente l'uno sull'altro>>. Esiste nondimeno un
probante indizio indiretto. Nella primavera del 1685, alcuni mesi dopo la
revisione del De motu, Newton era ben avviato verso la conclusione della
prima stesura dei Principia. Nella versione iniziale di quello che
sarebbe diventato il libro II, Sistema del mondo, specificò i vari stadi
che lo avevano condotto al concetto di interazioni gravitazionali planetarie. In
questi stadi la terza legge del moto a un ruolo principale e io non vedo alcuna
ragione per credere che essi non siano gli stessi stadi che lo avevano guidato
alcuni mesi prima, quando aveva rivisto il De motu. Ecco due passi della
prima stesura del Sistema del mondo che rivelano la funzione cruciale della
terza legge del moto (traduzione di Marcella Renzoni, Boringhieri, Torino,
1959,pp. 46-48) <<20. L'accordo fra le analogie>>.<<poiché
inoltre l'azione della forza centripeta sul corpo attratto è proporzionale, a
pari distanza, alla materia contenuta in questo corpo, è ragionevole che essa
sia proporzionale anche alla materia contenuta nel corpo che attrae. L'azione
perciò è reciproca, e fa sì che i due corpi con un reciproco sforzo (per la
terza legge del moto) si avvicinino vicendevolmente; tale azione deve perciò
essere simile a se stessa in entrambi. Un corpo può essere considerato come
quello che attrae, mentre l'altro è l'attratto: ma si tratta di una distinzione
più matematica che naturale. L'attrazione in verità è esercitata da ognuno dei
due corpi sull'altro, e pertanto è della medesima specie in entrambi.
>>. << 21. E loro coincidenza.<<si può dunque affermare che la forza
attrattiva si trova in entrambi. Il Sole attrae Giove e gli altri pianeti, Giove
attrae i suoi satelliti, e per una eguale ragione questi agiscono l'uno
sull'altro e su Giove, e tutti i pianeti agiscono reciprocamente gli uni sugli
altri. E benché le azioni di due pianeti possano venire distinte l'una
dall'altra, ed essere considerate come due azioni, mediante le quali ciascuno
dei due attrae l'altro, tuttavia, in quanto sono intermedie [in quanto si
esercitano fra i due corpi], non sono due, bensì costituiscono un'unica
operazione fra due termini. Mediante la contrazione di una funicella che li
unisca, due corpi possano trarsi vicendevolmente. La causa dell'azione è
duplice, cioè la disposizione dell'uno dell'altro corpo; anche l'azione è
duplice, in quanto si verifica in due corpi, ma, in quanto si verifica fra due
corpi, è semplice ed unica. Per esempio, non abbiamo un'operazione
con la quale il Sole attrae Giove, e un'altra operazione con la quale
Giove attrae il Sole: si tratta in realtà di una sola operazione, con la quale
il Sole e Giove cercano di avvicinarsi a vicenda. Mediante l'azione con la quale
il Sole attrae Giove, Giove e il Sole (per la terza legge del
movimento) si sforzano di avvicinarsi reciprocamente; e del pari, attraverso
l'azione con la quale Giove attrae il Sole, Giove e il Sole tentano
ugualmente di avvicinarsi. Ma il Sole non è attratto verso Giove mediante una
duplice azione, perché unica è l'azione intercorrente, con la quale ambedue si
avvicinano>>. Newton e concluse poi che <<tutti i corpi si debbono attrarre
reciprocamente secondo questa legge>>. E gli presentò orgogliosamente questa
conclusione e spiegò perché l'entità della forza d'attrazione sia così piccola
da risultare inosservabile. <<Si possono avvertire queste forze -scrisse- solo
nei grandi corpi dei pianeti>>.nel libro III dei Principia, che si occupa di anch'esso del sistema del mondo, ma che è un
po' più matematico, Newton e tratta l'argomento della gravitazione
sostanzialmente nello stesso modo. Innanzitutto, nel caso della Luna,
estende la forza peso, o gravità terrestre, sino alla Luna e dimostra che
la forza varia in proporzione inversa al quadrato della distanza. Poi identifica
la stessa forza terrestre con la forza esercitata dal Sole sui pianeti e
con la forza esercitata da un pianeta su cui i suoi satelliti. Newton ne chiama
ora tutte queste forze <<gravità>>. Con l'aiuto della terza legge del moto
trasforma il concetto di una forza esercitata dal Sole sui pianeti del
concetto di una forza reciproca che si esercita fra il Sole e i pianeti.
Similmente, trasforma il concetto di una forza planetaria sui satelliti del
concetto di una forza reciproca fra pianeti e loro satelliti e fra
satelliti. La trasformazione finale è la nozione che tutti i corpi interagiscono
gravitazionalmente fra loro.
La mia analisi dei vari stadi del
pensiero di Newton e non dovrebbe essere intesa come un tentativo di sminuire la
forza straordinaria del suo genio creativo, ma piuttosto come un tentativo di
renderne il genio plausibile. L'analisi illustra il fecondo modo di pensare la
fisica proprio di Newton, nel quale la matematica viene applicata al mondo
esterno quale è rivelato dall'esperimento e dall'osservazione critica. Questo
modo di pensare, sono solito chiamare stile newtoniano, è chiaramente espresso
nel titolo del capolavoro di Newton: Principi matematici di filosofia
naturale.
Lo stile newtoniano consiste in uno scambio ripetuto fra un costrutto matematico e la realtà fisica. Nello sviluppo
delle idee di Newton sulla gravità e della sua presentazione di tali idee nei
Principia, egli prese l'avvio da un costrutto matematico che rappresenta una
semplificazione della natura: una massa puntiforme in movimento attorno a un
centro di forza. Non supponendo che il costrutto fosse una rappresentazione
esatta dell'universo fisico, e gli fu libero di esplorare le proprietà e gli
effetti di una forza d'attrazione matematica, anche se il concetto di una forza
di attrazione <<agente a distanza>> era ripugnante e inammissibile nell'ambito
di una buona fisica. Poi confrontò le conseguenze del suo costrutto matematico
con i principi e le leggi del mondo esterno desunti dall'osservazione, come le
leggi kepleriane delle aree e delle orbite ellittiche. Quando il costrutto matematico si
rivelava insufficiente, Newton lo modificava. Identificò il centro di forza non
con una entità matematica, ma con una massa puntiforme. Dico una massa
puntiforme anziché un corpo fisico perché egli non aveva ancora considerato
proprietà fisiche come volume, figura e massa. Dal costrutto matematico modificato
Newton concluse che un insieme di masse puntiformi orbitanti attorno alla massa
puntiforme centrale si attraggono fra loro e perturbano a vicenda le loro
orbite. Poi confrontò di nuovo il costrutto con mondo fisico. Fra tutti i
pianeti, Giove e Saturno sono quelli di massa maggiore, cosicché Newton ricercò
perturbazioni orbitali nei loro moti. Avvalendosi della collaborazione
dell'astronomo reale John Flamsteed, trovò che il moto orbitale di Saturno è
perturbato quando i due pianeti si trovano alla loro distanza minima. Il
processo di comparare ripetutamente la costruzione matematica con la realtà e
successivamente modificarla in modo che fosse in accordo con essa condusse
infine Newton a trattare i pianeti come corpi fisici, dotati di figura e volumi
ben definiti. Dopo avere modificato varie volte la sua costruzione
matematica, Newton la applicò al sistema del mondo. Affermò che la forza di
attrazione, che l'aveva derivato matematicamente, è la gravità universale. Trovò
che la Luna si muove come se fosse attratta verso la Terra con una forza pari a
1/3600 della intensità della forza gravitazionale con cui la Terra attrae gli
oggetti alla sua superficie. Poiché la Luna è 60 volte più lontana dal centro
della Terra degli oggetti che si trovano sulla superficie di questa, il fattore
di 1/3600 e in accordo con la deduzione che la gravità della Terra si estende
sino alla Luna e diminuisce proporzionalmente al quadrato della distanza. La
legge della gravitazione universale spiega perché i pianeti seguano
approssimativamente le leggi di Keplero e perché se ne allontanino e il modo in
cui se ne allontanano, e dimostra perché (in assenza di attrito) tutti i corpi
cadano con la stessa velocità in uno stesso luogo sulla Terra e perché la
velocità di caduta vari con l'altezza e con la latitudine. Da legge della
gravitazione spiega anche i moti regolari e irregolari della Luna,
fornisce una base fisica alla comprensione e alla previsione dei fenomeni di
marea e dimostra che la precessione degli equinozi, che era stata osservata da
molto tempo, ma non spiegata, è l'effetto dell'attrazione della Luna sul
rigonfiamento equatoriale della Terra. Poiché la forza di attrazione matematica
funzionava bene nello spiegare e nel prevedere i fenomeni osservati del mondo,
Newton concluse che tale forza doveva <<esistere veramente>>, anche se la
filosofia tradizionale cui i aderiva non consentiva e non poteva consentire che
una tale forza fosse ammessa a far parte di un sistema della natura. Perciò egli
si fece promotore di un'indagine sul modo in cui possano sorgere gli effetti
della gravitazione universale. Benché a volte Newton pensasse che la gravità
universale potesse essere causata dagli impulsi che bombardassero un oggetto o
da variazioni in un etere omnipervasivo, non suggerì nessuna di queste due
nozioni nei
Principia perché, come scrisse, non voleva introdurre ipotesi come
spiegazioni fisiche. Lo stile newtoniano lo aveva condotto a un concetto
matematico della forza universale, e tale stile lo condusse ad applicare il suo
risultato matematico al mondo fisico anche se non si trattava del tipo di forza
in cui egli poteva credere. Alcuni fra i contemporanei di Newton
furono così turbati dall'idea di una forza di attrazione agente a distanza che
non poterono indursi neppure a cominciare a indagarne le proprietà e trovarono
difficile accettare da fisica newtoniana. Non poterono schierarsi al suo fianco,
quando Newton disse che non era stato in grado di spiegare in che modo le
gravità funzioni ma che <<è sufficiente che la gravità esista veramente gli
basti a spiegare i fenomeni del cielo e delle maree>>. Coloro che accettavano lo
stile di newtoniano usarono la legge della gravitazione universale, dimostrarono
come essa spiegasse molti altri fenomeni fisici e chiesero che si cercasse una
spiegazione di come tale forza potesse essere trasmessa su enormi distanze
attraverso lo spazio apparentemente vuoto. Lo stile newtoniano consentì al
Newton di studiare la gravitazione universale senza premature inibizioni che
avrebbero impedito la sua grande scoperta.
La corrispondenza fra Hooke e Newton
dimostra chiaramente che Hooke insegnò al Newton come analizzare il moto curvo.
Hooke avanzò in seguito la rivendicazione molto più ambiziosa di aver suggerito
a Newton dalle leggi della gravitazione universale, secondo la quale la forza di
gravità varia in proporzione inversa al quadrato della distanza. Questa
rivendicazione però non regge. Hooke aveva suggerito semplicemente che i pianeti
sono soggetti a una forza che varia in proporzione inversa al quadrato della
distanza e che è diretta verso il Sole. La gravitazione universale molto
di più di una forza diretta verso il Sole. Essa implica anche un effetto dei
pianeti sul Sole. Inoltre, essa si applica a tutti gli oggetti
dell'universo. Da legge della gravitazione universale non è semplicemente una
relazione che esprime una proporzione inversa a un quadrato; essa è anche una
relazione matematica tra le masse dei corpi che si attraggono fra loro. Ci volle
una capacità di penetrazione grandissima per passare da una forza diretta verso
il Sole che obbediva a una proporzionalità inversa al quadrato della distanza
alla gravitazione universale. E ci volle il genio di Newton per inventare il
concetto moderno di massa.
Nel 1673 Huygens aveva pubblicato un
supplemento a un libro sull'orologio a pendolo di cui si afferma che il moto
circolare la forza centrifuga è misurata da v^2/r, dove v è la
velocità del corpo orbitante e r è il raggio di rotazione. Newton aveva
scoperto indipendentemente la stessa relazione fra il 1660 e il 1670. Poiché la
differenza matematica fra una forza centrifuga e una forza centripeta è solo una
questione di direzione, la relazione v^2/r vale anche per la forza
centripeta. Da questa relazione e dalla terza legge di Keplero segue, mediante
operazioni algebriche semplici, della forza centripeta varia in
proporzione inversa al quadrato della distanza. Dopo la pubblicazione del libro
di Huygens chiunque avesse avuto una conoscenza rudimentale dell'algebra avrebbe
potuto trovare una forza centripeta variabile in proporzione inversa al quadrato
del raggio per un'orbita circolare. Perciò Newton non ritenne necessario
attribuire a Hooke il merito di aver formulato questa legge di proporzionalità. Tanto Hooke quanto Newton erano ben
consapevoli che trovare una legge di proporzionalità inversa al quadrato della
distanza per orbite circolari non era la stessa cosa che dimostrare che la legge
valeva per orbite ellittiche in cui il moto obbedisce alla legge delle aree di
Keplero. Il compito di Newton e consistette nel dimostrare che una legge della
proporzionalità inversa della forza centripeta al quadrato della distanza
corrispondeva al moto orbitale secondo le leggi kepleriane delle orbite
ellittiche e delle aree. Esaminando questo punto della sua lettera datata sei
gennaio 1680, Hooke commise un errore fondamentale che deve aver convinto
Newton del fatto che Hooke non capiva completamente ciò di cui stavo parlando.
Hooke scrisse che, se l'attrazione varia in proporzione inversa al quadrato
della distanza, la velocità orbitale di un pianeta sarà, <<come suppone Keplero,
reciproca alla distanza>>. Le condizioni supposte da Hooke, la velocità orbitale
non è però inversamente proporzionale alla distanza diretta dal Sole
tranne che nei punti estremi dell'orbita: il perielio e l'afelio. In
considerazione di questo errore di Hooke, Newton non era disposto a
riconoscergli il merito di aver suggerito la proporzionalità inversa della forza
centripeta al quadrato della distanza. Nel 1717 Newton, desiderando assicurarsi
la priorità della scoperta della legge della gravitazione, con la sua
proporzionalità inversa al quadrato della distanza, si inventò la storia secondo
cui si sarebbe occupato del moto della Luna come di un caso di caduta libera non
mentre stava scrivendo i
Principia, ma due decenni prima, negli anni 60. Documenti di quel periodo
indicano però che egli allora non stava confrontando la caduta della
Luna nella sua orbita con la caduta degli oggetti negli ambienti terrestri, ma
stava confrontando la <<tendenza centrifuga>> della Luna nella sua orbita
con la <<tendenza centrifuga>> di un corpo sulla superficie della Terra,
partecipe della rotazione diurna della Terra stessa. Newton calcolò che per
orbite planetarie circolari la<<tendenza centrifuga>> doveva essere inversamente
proporzionale alla distanza del pianeta dal Sole, ma non trasse dal calcolo
alcuna conclusione fisica. Newton non pubblicò mai questo falso resoconto del
suo interesse per il moto della Luna. Lo incluse nella minuta manoscritta
di una lettera al francese e Pierre Des Maizeaux, ma poi lo cancellò. Newton
fece circolare anche l'aneddoto familiare della caduta
di una mela dall'albero che avrebbe dato l'avvio alla catena di riflessioni che
lo condussero poi alla scoperta della gravitazione universale. Presumibilmente
anche questa invenzione rientra nella sua campagna per far risalire la scoperta
della gravità, o almeno le radici della scoperta, a una ventina danni prima dei
Principia. Le vere radici della scoperta non possono essere datate a prima
del dicembre 1684, quando Newton lo riconobbe per la prima volta che, se il Sole
attrae la Terra, la Terra deve attrarre il Sole con una forza di ugual
grandezza. Nel 1685 e gli superò la sua abituale riluttanza a scrivere per
esteso le sue scoperte e cominciò a redigere i Principia in vista della
loro pubblicazione per opera della Royal Society. Forse la sua disponibilità a
presentare la sua opera all'esame pubblico (e quindi al rischio di una possibile
disapprovazione) fu motivata in un primo tempo dall'importanza della sua
scoperta delle perturbazioni planetarie, seguita dalla sua audace concezione
della gravitazione universale. Era ora alla sua portata la fondazione di un
nuovo sistema di filosofia naturale che poteva essere esposto sulla base di
principi matematici. In breve, una volta che Newton ebbe veramente qualcosa di
importante da dire sulla dinamica celeste, fu disposto e anche impaziente di
presentarla al mondo. Questo
diagramma del sistema newtoniano del mondo fu eseguito da William Whiston, che
successe a Newton come professore lucasiano all'Università di Cambridge. Il
diagramma fu stampato su un foglio a sé, edito nel 1724. Vi si osservano i
pianeti e i satelliti di Giove e di Saturno, orbitante attorno al
Sole sotto l'azione della gravitazione universale. E' degno di nota il fatto che
Whiston incluse nel diagramma anche le orbite di numerose comete. Newton aveva
dimostrato che le orbite delle comete sono le ellissi o parabole delle quali il
vettore che unisce il Sole e alla cometa descrive in tempi uguali a aree uguali.
Sotto il diagramma vi è la traduzione inglese di Whiston di una parte dello
Scolio generale finale dei Principia (tratto dalla seconda edizione del
1713). Qui Newton e scrisse che <<questo elegantissimo sistema dei pianeti e
delle comete non poteva essere prodotto se non per opera del disegno e sotto il
dominio di un essere intelligente e potente.
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