L'opera grafica di Escher è interessante non solo dal punto di vista artistico, ma anche da quello matematico, in quanto spazia con felici intuizioni dalla geometria alla logica.

di Piergiorgio Odifreddi da Le Scienze nr 340

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) occupa un ruolo speciale nella storia dell'arte contemporanea per la sua produzione posteriore al 1935, anno in cui lasciò l'Italia fascista dopo una permanenza di 12 anni a Roma per tornare - dopo due anni trascorsi in Svizzera cinque in Belgio - definitivamente in Olanda. Fino ad allora egli si era dedicato e litografie e silografie, principalmente di paesaggi e architetture; dopo di allora, pur mantenendo lo stesso mezzo espressivo, il contenuto delle sue opere divenne sempre meno figurativo e sempre più intellettuale, ed egli si ritrovò a usare in maniera crescente, dapprima inconsciamente e poi volutamente, motivi matematici. Così egli spiega questa sua scelta artistica: <<affrontando gli enigmi che ci circondano, e considerando e analizzando le mie osservazioni, sono finito nel dominio della matematica. Benché mi manchino completamente educazione e conoscenza scientifiche, spesso mi sembra di avere più in comune con i matematici che con i miei colleghi artisti>>.

La sua originale e inusuale estetica gli procurò sì notorietà nel campo scientifico, a partire dalla mostra dei suoi lavori organizzata in occasione del congresso internazionale di matematica del 1954 ad Amsterdam, ma gli alienò anche le simpatie del mondo artistico, con accuse di eccessiva freddezza, astrazione e convenzionalità stilistica. <<sto ricominciando a parlare un linguaggio - egli scriveva - che è capito da pochi. Mi fa sentire sempre più solo. Dopotutto, non sto più da nessuna parte. I matematici possono essere amichevoli e interessanti di darmi una paterna pacca sulla spalla, ma alla fine del loro sono solo un dilettante. Gli "artisti" in genere si irritano, e io sono a volte assalito da un immenso senso di inferiorità.>> Oggi le cose sono cambiate, e la situazione si è ribaltata: caratteristiche più appariscenti dell'opera di Escher hanno preso il sopravvento sugli aspetti matematici, trasformando l'artista (suo malgrado, e che non soltanto post mortem) in un illustratore di copertine, magliette e i poster. Poiché però proprio nell'aspetto intellettuale risiede il duraturo valore della produzione di Escher, non era forse inappropriato riflettere su di esso, cercando di sottolineare che sia le fonti sia le novità dei motivi più strettamente matematici. Senza esagerare, però, visto che Escher si lamentò spesso di non capire appieno né il linguaggio di matematici né la sostanza delle loro osservazioni, pur convenendo che senza spiegazioni e le sue immagini possono risultare troppo ermetiche.

Geometria euclidea solida

La matematica si è intromessa nelle arti figurative ogni volta che (da Leonardo ai cubisti) si sono rappresentate figure geometriche, in particolare solidi di varia forma. Escher è stato particolarmente attratto dai poliedri regolari (o solidi platonici) perché in questi <<simboleggiano in maniera impareggiabile e umana ricerca di armonia dell'ordine, ma allo stesso tempo la loro perfezione ci incute un senso di impotenza>>. Essi hanno per facce uno stesso poligono regolare, con lo stesso numero di facce a ogni vertice, il matematico greco Teeteto scoprì che sono solo cinque: tetraedro, ottaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro. Cubo e ottaedro sono detti reciproci, perché uno ha tre facce quadrate ogni vertice, l'altro quattro triangolari. Secondo Escher <<la magnifica fusione di un cubo di un ottaedro non esiste, ma nondimeno possiamo continuare a sperarla>>. Nel frattempo egli l'ha rappresentata in alcune opere, in particolare nell'angolo nord-ovest della xilografia stelle. Il tetraedro è reciproco di se stesso, perché ha tre facce triangolari in ogni vertice. L'intersezione di due tetraedri uguali si chiama stella ottangula e ha interessanti proprietà: guardando al suo interno, essa è costituita da un ottaedro sulle cui facce sono state poste piramidi triangolari (così come la <<stella di David>>, ottenuta intersecando due triangoli equilateri uguali; può essere vista come un esagono sui cui lati sono stati posti triangoli equilateri); guardando al suo esterno, i vertici della stella sono i vertici di un cubo, le cui facce hanno per diagonali i lati della stella. Anche questo straordinario poliedro è stato raffigurato da Escher varie opere, dopo che nessuno l'aveva <<disturbato per anni>>, e appare in particolare nell'angolo nord-est di Stelle, disegnato nello stile di Leonardo (per le illustrazioni del De divina proportione di Luca Pacioli). Il processo di stellazione (aggiunta di piramidi sulle facce) si può applicare anche al dodecaedro, ottenendo un poliedro di <<perfettamente ordinata bellezza>>, si può pure vedere come l'intersezione di 12 facce a stella regolare (la figura resa popolare dalle Brigate Rosse, e che a sua volta una stellazione piana del Pentagono regolare). Questo poliedro era molto amato da Escher perché è allo stesso tempo semplice e complicato, ed egli non rappresentò più volte: in particolare : forza di gravità, dove ogni fa è occupata da un mostro.

In Stelle il poliedro principale è l'intersezione di tre ottaedri, ancora una volta disegnata nello stile di Leonardo, e le <<stelle>> sono in realtà una fantasmagoria di poliedri più o meno regolari: fra esse compaiono non solo il cinque solidi platonici, ma anche - nell'angolo nord-ovest - l'intersezione di cubo e ottaedro, la stella ottangula (angolo nord-est), l'intersezione di due cubi con un vertice in comune parentesi angolo sud-ovest) e una lezione solida e più comprensibile della figura principale (angolo sud-est). Un ultimo uso di poliedri regolari riguarda la vita  di riempirne l'intero spazio (la cosiddetta tassellazione dello spazio) e introduce all'argomento del due prossimi paragrafi. L'unico dei cinque solidi platonici che riempia da solo lo spazio è il cubo, ma tetraedri e e ottaedri alternati raggiungono lo stesso scopo: Escher ha sperimentato entrambi queste tassellazioni dello spazio.

Geometria euclidea piana

Per sua stessa ammissione, il soggetto che più interessò Escher fu la divisione regolare del piano: <<non so immaginare che cosa la mia vita sarebbe stata senza questo problema. Mi ci imbattei molto tempo fa, durante le mie peregrinazioni; digli un alto muro e, come per la premonizione di un enigma, di qualcosa che esso potesse nascondere, lo scalai con qualche difficoltà. Dall'altro lato, però, mi ritrovai in una giungla; dopo essermi aperta la via con grande sforzo, giunsi alla porta aperta della matematica, da cui si dipartivano cammini in ogni direzione. A volte penso di averli percorsi tutti, ammirandone le vedute; poi improvvisamente scopro un nuovo cammino e sperimento una nuova delizia>>.

Il problema in questione viene chiamato tassellazione del piano: esso consiste nel ricoprire l'intero piano mediante tasselli, come in un gigantesco puzzle, e fu studiato dal punto di vista matematico prima volta da Keplero nell'Harmonice mundi parentesi 1619).

La grande varietà di possibili tassellazioni, a cui Escher allude, può essere circoscritta imponendo opportune limitazioni, di cui le più ovvie sono le seguenti: 1) Una tassellazione viene detta monoedrica se usa un solo tipo di tassello, e biedrica se ne usa due. 2) Una tassellazione viene detta isoedrica se tutti i tasselli hanno la stessa relazione con il resto della tassellazione: in particolare, non solo sono tutti uguali, ma svolgono anche tutti lo stesso ruolo. In termini più matematici: una tassellazione è isoedrica se, da due tasselli di qualunque, esiste una isometria che sposta localmente uno dei due tasselli nell'altro, ma lascia globalmente invariata la tassellazione. 3) Una tassellazione e viene detta monomorfica se è l'unico modo possibile di combinare i tasselli per ricoprire il piano. Ad esempio, gli unici poligoni regolari che riempiano da soli il piano sono in triangolo, il quadrato e l'esagono: la tassellazione mediante  esagoni è monomorfa, ma non così quelle mediante triangoli o quadrati. Il solo esempio dell'opera di Escher di tassellazione monoedrica ma non isoedrica è Fantasmi : in tassello è unico, ma è usato in maniere diverse (alcuni fantasmi sono raggruppati, altri sono isolati). L'esempio è interessante perché non isoedrico in modo essenziale: ogni tassellazione del piano che usi quel tipo di tassello deve essere non isoedrica (questo deriva dal fatto, non ovvio, che la tassellazione della figura è monomorfa). La prima di tali tassellazioni fu trovata da Heesch nel 1935, che risolse il cosiddetto diciottesimo problema di Hilbert, ma è Escher si ispirò a un successivo esempio di Penrose.

Anche la tassellazione di Studio di divisione regolare del piano con angeli e diavoli  sembra non isoedrica perché è a prima vista biedrica, e cioè costituita da due tipi di tasselli (un angelo e un diavolo). In realtà essa è monoedrica se la si considera come costituita da un solo tassello, ad esempio un angelo e un diavolo, ma anche mezzo angelo e mezzo diavolo; in entrambi i casi essa è isoedrica, anche se in modi diversi. Si noti che le ali degli angeli, o de i diavoli, si incontrano a quattro a quattro, i piedi a due a due. Escher non è certo stato il primo artista a usare tassellazioni del piano: l'esempio delle decorazioni moresche dell'Alhambra di Granada e il ben noto, e fu da lui stesso studiato in maniera approfondita, in due viaggi compiuti nel 1922 e 1936. A causa della proibizione islamica di rappresentare esseri viventi i Mori non poterono però usare altro che motivi geometrici astratti, mentre Escher trovò più attraenti rappresentazioni di figure animate, specialmente i pesci e uccelli. Sia i Mori sia Escher furono interessati a una esplorazione sistematica della tassellazione isoedrica, e usarono quasi tutte le 17 possibili isometrie descritte dal cristallografo russo Fedorov nel 1891 (più precisamente: 11 i Mori, e 16 Escher). Mentre i Mori dovettero ovviamente scoprire da soli le varie possibilità, Escher conobbe fin dal 1937 un famoso articolo di Pòlya del 1924, in cui le 17 possibilità erano state riscoperte e illustrate, e lo ricopiò accuratamente.

L'originalità matematica di Escher fu invece più evidente nell'uso delle tassellazioni cromatiche, in cui ogni isometria che lascia invariata la tassellazione permuta i colori in modo non ambiguo. Egli ne studiò autonomamente, riportando i risultati del 1941-42 in un quaderno che non pubblico, ma che usò per catalogare le proprie incisioni. In particolare, Escher ritrovò indipendentemente 14 delle 46 possibili isometrie bicromatiche classificate da Woods nel 1936, in un lavoro che però rimase ignoto fino agli anni 50, quando i suoi risultati furono riscoperti da Shubnikov, che in seguito fu entusiasmato dai disegni di Escher. I cristallografi riconobbero ripetutamente l'aspetto pionieristico del lavoro di Escher nel loro campo, e l'unione internazionale di cristallografia lo invitò a tenere una conferenza al congresso 1960, e gli commissionò di illustrazione di un testo con 42 dei suoi disegni, pubblicato nel 1965 a cura di Carolina MacGillavry.

Geometria non euclidea piana

Il problema della tassellazione si può estendere dal piano euclideo a superfici più complicate. Gli esempi più semplici di tali superfici sono la sfera e in cilindro. La sfera è limitata nello spazio, e può dunque essere internamente tassellata con un numero finito di tasselli. Questo fatto è, secondo Escher, <<un meraviglioso simbolo dell'infinito forma chiusa>>, ed egli l'ha illustrato intagliando varie sfere di legno. Il cilindro si ottiene incollando fra loro gli estremi di una striscia (infinita in una direzione). Ogni tassellazione del cilindro ne genera una del piano, perché basta ripetere all'infinito la striscia che genera il cilindro. Ma non tutte le 17 tassellazioni isoedriche del piano generano tassellazioni isoedriche e del cilindro, perché alcune isometrie si possono perdere. Escher ha illustrato la tassellazione di cilindri di piastrellando varie colonne.

La striscia di Moebius si ottiene incollando fra loro gli estremi di una striscia, dopo averne fatto compiere un mezzo giro (o, più in generale, un numero dispari di mezzi giri). Essa gode di due interessanti proprietà: ha una sola faccia, invece di due come le solite superfici; e se la si taglia lungo la linea centrale di liscia non la si separa in due, come per il cilindro, bensì se ne raddoppia la lunghezza parentesi ottenendo una striscia che non è più di Moebius, e che ha due facce). Queste proprietà sono così strane che hanno distratto Escher dal problema della tassellazione, facendogli produrre invece l'efficace striscia di Moebius.

Nonostante il loro carattere non euclideo in quanto superfici, gli esempi precedenti (sfera, cilindro, striscia di Moebius) sono comunque immergibili nello spazio euclideo. Il piano iperbolico parentesi caratterizzato dal fatto che per un punto passano più parallele a una retta data) è invece una superficie non euclidea, che non si può immergere nel piano euclideo direttamente (misurando cioè le distanze sulla superficie, nel solito modo). È però possibile immergerlo indirettamente, e due famosi modelli della geometria iperbolica sono stati trovati da Henri Poincaré: l'uno consiste di un cerchio euclideo senza il bordo (la circonferenza), l'altro di un semipiano euclideo senza il bordo (la realtà che determina il semipiano), e in entrambi i casi le rette iperboliche sono rappresentate da archi di cerchi euclidei ortoganali al bordo. Escher venne a conoscere la geometria iperbolica nel 1958, tramite il geometra H. S. M. Coxeter (incontrato al congresso di Amsterdam nel 1954), e fu affascinato dal fatto che il primo modello di Poincaré richiede solo una porzione limitata del piano euclideo per rappresentare l'intero piano iperbolico: le rappresentazioni di tassellazioni del piano iperbolico possono dunque essere complete, a differenza di quelle del piano euclideo (di cui si può rappresentare solo una parte). Escher produsse quattro famosi esempi, tutti denominati Limite del cerchio (I-IV): e si furono analizzati in dettaglio dal punto di vista matematico da Coxeter, e uno (Limite del cerchio I-V), ) è un ulteriore adattamento della tassellazione del piano euclideo con angeli e diavoli. In quest'opera però le ali si incontrano a quattro a quattro, e i piedi a tre a tre si noti anche che tutti gli angeli (così come tutti i diavoli) hanno le stesse dimensioni iperboliche, nonostante l'apparente diminuzione euclidea (dovuta al fatto che le distanze si misurano diversamente nei due casi).

Le tassellazioni iperboliche sono soltanto l'ultimo stadio di una serie di sperimentazioni che Escher effettuò con tassellazioni le cui figure rimpiccioliscono quando si avvicinano a un limite, e che si possono classificare in 3 tipi: 1) Usando come come limite un punto, la tassellazione richiede ancora l’intero piano: infatti le figure si ingrandiscono senza limite a mano a mano che si allontanano dal punto. 2) Usando come limite una retta, la tassellazione richiede ancora (o solo più)  metà deò piano. Escher ritenne che il guadagno non fosse molto, e non seppe mai che in tal modo avrebbe invece che in tal modo avrebbe potuto tassellare il secondo modello di Poincaré. 3) Usando come lmite una circonferenza, come nel Limite del Cerchio IV, la tassellazione richiede solo più una zona limitata, pur rimanendo infinita. Questa era proprio la soluzione che Escher aveva invano cercato, senza essere riuscita a trovarla da solo.

Metamorfosi

L'interesse di Escher per le tassellazioni non era fine a se stesso, ma aveva lo scopo di una loro trasfigurazione artistica. Frammenti di tassellazioni appaiono così in una sessantina di suoi lavori, in cui egli sfruttò a fondo il fatto che in una tassellazione biedrica ciascuno dei due tipi di tasselli svolge due ruoli complementari, di figura e sfondo, secondo un principio basato sul cosiddetto <<principio di Rubin>> (in cui due profili di facce possono essere visti come il contorno di un vaso). Poiché non è però possibile percepire una figura in assenza di sfondo, il risultato è un'alternanza instabile di due figure, ciascuna delle quali viene percepita per un breve periodo lo sfondo dell'altra. Impiegando le elezioni dinamiche nelle tassellazioni biedriche secondo i principi e le tecniche della psicologia della Gestalt, di cui era interessato conoscitore, Escher riuscì ad illustrare convincentemente il passaggio dal bidimensionale al tridimensionale e la morfogenesi, facendo evolvere indipendentemente e gradualmente i due tipi di tasselli in figure indipendenti e spaziali. Simmetricamente, le metamorfosi di Escher evidenziano la sintesi dialettica, fra positivo e negativo, che le tassellazioni biedriche contengono al loro interno. Nel saggio Divisione regolare del piano Escher discusse un'analogia tra le sue metamorfosi (successioni statiche di immagini) sia con cinema (successione dinamica di immagini) sia con la musica (successione dinamica di suoni). Più precisamente, egli sostenne di usare gli stessi procedimenti (ripetizione, aumento, riduzione, sovrapposizione e inversione) dal contrappunto di Bach, dando così il <<la>> a Douglas R. Hofstadter e il suo celebre Godel, Escher e Bach.

Paradossi percettivi

Alla fine della Poetica, Aristotele ripete due volte che <<una convincente impossibilità è preferibile a una non convincente possibilità>>. Alcune delle opere più famose di Escher sono perfette illustrazioni di questo motto, oltre che di alcuni ben noti paradossi percettivi (basati sul contrasto tra percezione e interpretazione dei dati sensoriali, e sul condizionamento fisiologico e culturale che spinge a considerare figure bidimensionali come rappresentazioni di oggetti tridimensionali). La litografia Belvedere è ispirata al <<cubo di Necker>>, che si ottiene disegnando un cubo in prospettiva con tutti i lati in evidenza: così facendo si crea una ambiguità su quale delle facce stia davanti il quale dietro, e due possibili cubi si alternano nella percezione. Il cubo di Necker è disegnato nel progetto che sta ai piedi del personaggio seduto sulla panca (con i due punti problematici evidenziati), ed egli tiene in mano un modello di <<cubo impossibile>>, in cui l'ambiguità viene risolta fondendo le due possibilità, e creando così un cubo localmente corretto (nella parte alta e in quella bassa), ma globalmente impossibile. L'edificio della figura realizza poi il cubo impossibile, congiungendo paradossalmente le parti alta e bassa, che sono separatamente consistenti. La litografia Concavo e convesso , illustra due paradossi. Il primo, detto dei cubi reversibili, era già noto ai Romani, che l'hanno usato in vari mosaici, ed è stato sfruttato in modo sistematico da Victor Vasarely, la cui opera Escher però disprezzava: tre rombi adiacenti sono visti come le facce di un cubo, ma possono essere interpretati sia come facce esterne sia come facce interne; inoltre, se ce ne sono più di tre, quelli non estremi possono appartenere a più di un cubo, facendo apparire l'immagine alternativamente convessa e concava. Cubi reversibili sono disegnati sulla bandiera in alto a destra della figura, e questa realizza il contrasto convesso/concavo fra le parti sinistra e destra. In particolare, dei tre tempietti cubici quello centrale è ambiguo, e rappresenta quindi un cubo irreversibile, mentre quelli ai lati mostrano le due possibilità separatamente dall'esterno e dall'interno.

Il secondo paradosso, detto scala di Schroder, mostra come il disegno di una scala possa risultare ambiguo, ed essere considerato allo stesso tempo come la rappresentazione di una scala posta sia su un pavimento (a sinistra) sia su un soffitto (a destra), un da percorrere stando sia sopra sia sotto i gradini. Un paradosso interessante è costituito dal <<triangolo impossibile>>, disegnato in prospettiva in modo da avere ogni coppia di lati perpendicolari, ed essere quindi localmente corretto (a ogni angolo), ma globalmente impossibile. È Escher ne fece un uso spettacolare nella litografia La cascata dove esso appare per tre volte consecutive nella rappresentazione di un canale che sembra localmente in piano, ma globalmente in salita. Escher crea così l'impressione doppiamente paradossale, di un punto di vista fisico, di un moto perpetuo generato dall'acqua che scorre all'insù. Si noti come l'intera figura sia in realtà la sovrapposizione di due figure separatamente consistenti: due torri ( una a tre piani e l'altra a due), e un canale orizzontale (con i lati a due a due perpendicolari). Sulle colonne di La cascata sono raffigurati due strani poliedri: quello a sinistra è l'intersezione di tre cubi, quello a destra l'intersezione di tre ottaedri irregolari (o, alternativamente, un dodecaedro con facce romboidali stellato). Nel litografia salita e discesa è infine rappresentata la <<scala di Penrose>>, in cui un moto perpetuo è generato nel modo opposto a quello di la cascata: non mediante un percorso in salita che dovrebbe essere in piano, ma di un percorso il piano che dovrebbe essere in salita. Che la scala sia in piano lo si intuisce tenendo l'immagine non perpendicolarmente al campo visivo (come normalmente la si osserva), ma (quasi) parallelamente a esso: il disegno è dunque un'anamorfosi, cioè la rappresentazione distorta di una prospettiva che si vede in modo naturale soltanto guardandola da un'angolazione particolare. Gli scalini sono in realtà posti l'uno sull'altro come tegole su un tetto piano, o libri su un tavolo, in modo da formare un quadrilatero: l'illusione deriva dal disegnare come verticali i prolungamenti delle altezze degli scalini, che sono in realtà linee oblique. Poiché però tali prolungamenti vanno in direzioni opposte su lati opposti del quadrilatero, l'edificio si può disegnare solo a metà, e non potrebbe stare in piedi. Paradosso a parte,  Escher vide qui una metafora dell'assurdità della vita, non solo del <<come è duro calle lo scendere e 'l salir per l'altrui scale>> (Paradiso,XVII, 59-60), ma anche di quanto tale affanno sia inutile, e non porti realtà da alcuna parte.

in conclusione, possiamo dividere i sei paradossi percettivi usati da Escher in due classi. Tre di essi (il cubo di Necker, i cubi reversibili della scala di Schroder) sono semplicemente figure ambigue, che rappresentano più di un oggetto allo stesso tempo, in cui la percezione oscilla. I rimanenti tre (fu impossibile, triangolo impossibile e scala di Penrose) sono invece figure assurde, che rappresentano un solo oggetto ben definito.

L'assurdità delle figure del secondo gruppo è però di un tipo molto particolare: essa risiede soltanto nella loro interpretazione, e non nel fatto che esse siano rappresentazioni di percezioni impossibili. Richard Gregory hanno infatti dimostrato come tre sbarre a due a due perpendicolari (ovviamente formanti non un triangolo chiuso, ma una figura aperta) possono sembrare un triangolo impossibile, se osservate da un particolare punto di vista. Analogamente,1 modello di cubo con due lati discontinui può sembrare un cubo impossibile, se osservato da un particolare punto di vista (perché le discontinuità permettono di vedere i lati che si trovano in realtà sul retro).

Paradossi logici

L'osservazione di Gregory mostra come i paradossi delle figure assurde siano le realtà di natura logica, e non fisica. Essi sono dunque  tipici della prima metà del secolo, in particolare della storia che inizia in negativo nel 1902 con il paradosso di Russell, che culmina in positivo (almeno per quanto riguarda l'uso dei paradossi) nel 1931 con il teorema di Godel.

L'esempio più venerando e illustre di questo genere di cose è forse il famoso <<paradosso del mentitore>>, una versione del quale è la seguente:

 <<Questa frase è falsa>>. Naturalmente, se la frase fosse vera dovrebbe essere falsa (e che questo è ciò che essa dice); e se fosse fatta dovrebbe essere vera (perché questo è il contrario di ciò che essa dice). Un aspetto fondamentale della frase precedente è l'autoriferimento, il fatto cioè che essa parli di se stessa. Tale aspetto è esemplificato, nei disegni di Escher, dalla presenza di un richiamo della figura principale in Stelle, del cubo impossibile in Belvedere, e degli cubi reversibili sulla bandiera di Concavo e convesso. Un aspetto secondario della frase precedente è invece il fatto che l'autoriferimento sia ottenuto in un solo passo. Gli usi moderni dei paradossi hanno anzi mostrato che è più efficace spezzare l'autoriferimento in due passi, come nel caso della seguente versione del paradosso del mentitore, proposta da Jourdain nel 1913: <<La frase successiva è vera. La frase precedente è falsa>>

Il fatto che essa sia in realtà l'accostamento inconsistente di due frasi separatamente consistenti ricordo ovviamente le realizzazioni di Belvedere e La cascata. Ma i due passi e sono illustrati nel modo più efficace in Mani che disegnano: in quanto immagine del processo di riflessione di Escher sull'attività del disegnatore, essa è forse anche il simbolo più indovinato di tutto il suo lavoro.