Le tre leggi di Keplero
sono oggi introdotte come unico strumento
che descrive il moto dei pianeti del sistema solare. Ci può però incuriosire un
fatto: le prime due leggi sono enunciate in un <<classico>> libro di astronomia,
intitolato Astronomia Nova e pubblicato nel 1609, mentre la terza appare
in un libro un po' bizzarro del 1619, intitolato Harmonice Mundi, nelle cui pagine Keplero discute di pianeti, musica e
astrologia.Keplero avrebbe individuato tale legge dopo innumerevoli tentativi e
l'avrebbe inserita in Harmonice Mundi solo per <<brevettare>> il frutto
di 24 anni di lavoro. Già nel 1596 aveva notato che un pianeta più distante dal
Sole ha un periodo di rivoluzione T più lungo; ma, avendo verificato che la
forma più semplice dei rapporti, T1 /T2 =r1/r2, non era corretta, proponeva:
T1 / T2 =(r1/r2)2 L'esponente esatto, come sostenne Owen
Gingerich nel 1977, sarebbe poi scaturito per tentativi, scrivendo per caso i
quadrati dei periodi a fianco dei cubi dei raggi e osservando che i valori
coincidevano (figura 82). È a questo punto che sembra lecito domandarsi se, tra
tutte le possibili combinazioni di potenze dei periodi e dei raggi medi,
non ve ne fossero alcune <<preferibili>> a priori dal punto di vista di Keplero.
Bernard Cohen, in La Rivoluzione Newtoniana, dedica un semplice accenno
alla questione, rimandando alle ipotesi di R.Small, Gian battista Delambre e
Alexandre Koiré. Le opinioni dei tre studiosi sono in contrasto. I primi due
ritengono che l'esponente 3/2 - nella formula (r1/r2) 3/2= T1 /T2 -
sia stato scelto semplicemente
perché costituiva una via di mezzo tra la dipendenza lineare e quella
quadratica. Koyré, invece, pensa che un tale procedimento sia poco
<<Kepleriano>> e scrive:<<... inoltre, quando egli ci dice che l'idea concepita
l'otto marzo 1618, e abbandonata perché non confermata dal calcolo, [...] tornò
il 15 maggio dello stesso anno e si rivelò in perfetto accordo non solo con i
fatti empirici, ma anche con i suoi studi presenti (armonici), sembra volerci
far intendere che furono considerazioni di questo genere a spingerlo verso la
scoperta della sua legge...>>.
Consideriamo allora l'ipotesi che siano
stati gli interessi armonici di Keplero a influenzarlo nella scelta
dell'esponente. La proporzione 3:2, e da sesquialtera, è infatti alla base del
sistema musicale occidentale e lo stesso Keplero ne sottolinea il carattere
fondamentale. Nel terzo libro dell'
Harmonice, dedicato agli intervalli musicali, Keplero anticipa che questi
gli serviranno poi nel quinto libro per descrivere l'ordine dei moti celesti e,
parlando in particolare dell'intervallo sesquialtero (detto oggi <<di quinta>>),
avverte che tornerà sull'argomento trattando dei moti celesti (avvertimento che
non viene invece ripetuto nella trattazione né degli intervalli precedenti, né
di quelli successivi). Forse Keplero utilizzò criteri dimostrativi che noi
riteniamo non corretti; ma, letta nella sua ottica,l'Harmonice Mundi era
una meravigliosa architettura del pensiero umano.
È comprensibile che l'apparizione di una
legge di meccanica celeste all'interno di un libro di musica possa turbare lo
scienziato o lo storico contemporaneo. Per esempio E. J. Dijckstherius, sebbene
ammetta che Keplero fosseda un ventennio alla ricerca di una legge simile,
ritiene che questa sia stata inserita nell'Harmonice Mundi
come una semplice osservazione empirica, pur avendo <<ben poco a che vedere con
il contenuto di quest'opera>>. Tale opera non apparterrebbe , insomma, alla
produzione del Keplero scienziato: <<le sue speculazioni elaborate e fantastiche
sulle armonie e matematiche costituite dai moti dei pianeti la rendono
estremamente interessante per capire la personalità versatile, e in una certa
misura imperscrutabile, di Keplero [...] ma non ebbe alcuna influenza sensibile
sull'aspetto della scienza classica>> Le opinioni di Dijckstherius non sono però
condivise da altri storici della scienza, come ad esempio Gerald Holton o Rudolf
Haase, i quali ritengono che l'impossibilità di negare il contributo di Keplero
alla scienza modernamente intesa abbia spinto alcuni studiosi a costruirne una
figura di scienziato moderno (quale in effetti egli non era) e a scartare
componenti ritenute oggi poco scientifiche (come per esempio la musica), che
hanno invece un preciso ruolo nell'architettura del sistema Kepleriano. Keplero
è realmente convinto che la musica e il sistema solare siano entrambi
manifestazioni della stessa <<armonia>>, ed è solo partendo da questa idea che
riusciremo ad apprezzare in pieno il suo lavoro. Egli crede che esista una
vis harmonica con un ruolo molto simile a quello della forza
gravitazionale newtoniana. La vis harmonica condiziona il moto dei pianeti,
costringendoli a muoversi in modo tale da esprimere l'archetipo dell'armonia. La
ricerca di una teoria astronomico-musicale ha, del resto,1 lunga tradizione, che
ha origine nella teoria aristotelica delle sfere celesti e che, ai tempi di
Keplero, si esprimeva nel tentativo di descrivere l'universo come un
monocordo, così che le distanze dei pianeti, del Sole e delle stelle dalla
Terra venissero messe in relazione con la lunghezza di un accordo musicale
(..........). Come i tasti di una chitarra, gli oggetti celesti segnano le
posizioni che corrispondono alle diverse note. Un vantaggio che Keplero ha sui
propri contemporanei consiste, come ha osservato G. Holton, e nel non decidere a
priori il modo in cui l'armonia si deve esprimere: se, quindi, l'impronta del
creatore si doveva leggere esclusivamente nella complicata sovrapposizione di
<<armonici>> cerchi che avrebbe dovuto caratterizzare ciascuna orbita, Keplero
pose come caratteristica ancor più imprescindibile l'esattezza che una creazione
divina doveva manifestare. Se le complesse orbite ottenute per sovrapposizione
di cerchi, o analogamente le proporzioni ipotizzate tra i raggi delle orbite
planetarie, erano soltanto <<quasi>> precise, egli osò sospettare che l'armonia
si nascondesse in altre relazioni tra più parametri. Un altro vantaggio della
posizione Kepleriana consiste nella scelta di affrontare la musica con lo
strumento della geometria, mentre tradizionalmente essa era studiata con
l'aritmetica. Se l'astronomia si esprimeva per mezzo del linguaggio geometrico,
allora Keplero era in grado di costruire realmente un unico sistema: una specie
di teoria dell'evidenza concreta dell'armonia. Ripercorriamo ora le tappe
dell'evoluzione della terza legge nell'ottica di Keplero. Egli cerca una legge
di armonia che spieghi: perché determinati intervalli, e solo quelli, siano
consonanti (ovvero, perché alcune coppie di note suonate contemporaneamente ci
diano una sensazione piacevole); perché i pianeti si muovano in un certo modo
(ovvero perché con quelle velocità, e non con altre, o con quelle orbite, e non
con altre). Secondo il resoconto fornito dallo stesso Keplero nel Mysterium
Cosmographicum, nel 1595 egli ebbe l'ispirazione che potesse esistere una
relazione tra i raggi delle orbite planetarie e quelli delle sfere inscritte nei
cinque poliedri regolari grazie al un disegno casualmente tracciato durante una
lezione.
Tra le orbite dei sei pianeti
copernicani di vi sono cinque spazi vuoti, in cui Keplero prova a inserire i
cinque solidi platonici. Così, ad esempio, la sfera di Saturno è circoscritta a
un cubo, in cui è a sua volta inscritta la sfera di Giove. Le sfere, per essere
in grado di contenere lo <<scarto>> di raggio delle orbite non perfettamente
circolari, devono essere in pratica delle croste sferiche di opportuno spessore,
dipendente dalla eccentricità dell'orbita considerata. È grazie al tentativo di
dimostrare questa teoria, che si rivelerà poi infondata agli occhi dello stesso
Keplero, che lo scienziato getta le fondamenta della creativa, anche se
contrastata, collaborazione con Tycho Brahe.
 Nel 1600 Keplero raggiunge Tycho in Boemia, con lo
scopo di utilizzare i dati e osservativi da lui raccolti per calcolare con
maggiore esattezza le distanze medie dei pianeti e le loro eccentricità. I
frutti di numerosi anni di calcoli mostrano tuttavia che la sua ipotesi è una
semplice approssimazione. Keplero cerca allora una nuova strada, esposta
dettagliatamente nei cinque libri dell'Harmonice. Già nel Proemio si può
leggere il programma di ricerca, volto al rinvenimento di proporzioni armoniche
nei moti celesti. Dopo aver introdotto nei primi due libri gli strumenti
matematici necessari e avere riconosciuto i limiti della teoria dei poliedri
regolari, Keplero riporta nel terzo libro, la teoria musicale a lui
contemporanea, citando come fonte il padre di Galilei, Vincenzo, e sottolineando
il ruolo fondamentale della proporzione sesquialtera in musica; dopo il quarto
libro, dedicato all'importanza dell'armonia in ogni ambito umano, si giunge a
quello propriamente dedicato all'astronomia. Dapprima Keplero racconta il
tentativo di ricavare una legge di armonia dalla forma delle orbite, ossia dalla
loro eccentricità. Questo si rivela infruttuoso, ma Keplero non esiste: intuisce
come sia possibile che le relazioni armoniche non vadano ricercate fra i dati
sulle distanze, come era previsto dagli astronomi dell'epoca, bensì tra quelli
sulle velocità (in ipsis motibus, non intervallis) e, più
precisamente, tra le velocità angolari calcolate rispetto al Sole nei due punti
estremi dell'afelio e del perielio. Leggiamo nell'Harmonice Mundi:
<<il 15 maggio 1618, dopo 17 anni di
lavoro e meditazione sui dati di Brahe [...] un lampo improvviso disperse le
tenebre della mia mente [...] mostrandomi [...] come cosa sicurissima ed
esattissima il fatto che la proporzione, che esiste tra le distanze medie e i
periodi dei pianeti, sia proprio la proporzione sesquialtera>>. Una volta
riconosciute le proprietà armoniche delle orbite planetarie nelle loro velocità
massime e minime, e dopo aver fornito la chiave di lettura rapporto di
velocità <> intervallo musicale,
egli cerca di comprendere attraverso quali altri meccanismi armonici sia
possibile descrivere il sistema solare come sistema armonico in tutti i suoi
parametri, tenendo quindi conto, per esempio, anche dei raggi medi delle orbite
e delle masse dei pianeti.
Avvalendosi dei dati Tycho Brahe, Keplero
ha dunque mostrato che la prevista armonicità dei raggi medi delle orbite è
inesatta: non è possibile creare una relazione tra raggi delle orbite e
lunghezze di corde sonore così da ottenere intervalli consonanti. Questi ultimi
si ottengono invece utilizzando, come parametri le velocità minime e massime dei
pianeti: appare quindi evidente la necessità di trovare, come successivo anello
di questa descrizione del sistema solare,1 relazione armonica, cioè una legge di
tipo proporzionale, che leghi tra loro velocità (e quindi periodi di
rivoluzione) e raggi medi. Ora pare molto logico che, fra tutte le relazioni
possibili, si possa pensare a quella sesquialtera. Una volta rintracciata e
sperimentalmente verificata, la terza legge diventa, agli occhi di Keplero, la
prova decisiva della centralità del sole nel sistema solare. Egli non ha provato
l'esistenza di una coerenza fisica, in quanto bisognerà aspettare la meccanica
newtoniana per sistemare le leggi di Keplero all'interno di un'unica struttura
fisica. Ha però dato la prova di una coerenza armonica: Keplero è consapevole
del fatto che tali proporzioni non si ripropongono qualora si preferisca la
rappresentazione tolemaica a quella copernicana. Come si legge sia
nell'appendice de l'Harmonice Mundi (dove troviamo un confronto tra la
teoria di Keplero e le analoghe di Tolomeo e di Robert Fludd), sia nell'Epitome,
Keplero ricorda con Tolomeo sulla necessità che i corpi celesti si dispongano e
si muovano rispettando proporzioni armoniche, ma da Tolomeo si distacca per la
scelta dell'origine del sistema di riferimento, poiché <<nella sua solita
astronomia sarebbe stato impossibile>> ritrovare tali proporzioni alla luce dei
più recenti dati sperimentali. In conclusione: se, per Keplero, il fatto che la
relazione tra periodi e raggi sia sesquialtera è tanto meraviglioso da farne un
criterio per la scelta tra geocentrismo e copernicanesimo, credo sia oggi
impossibile sostenere che quella relazione fosse, ai suoi occhi, una occasionale
osservazione sperimentale.
|
