Analisi armonica della terza legge di Keplero

Furono studi di teoria musicale a ispirare a Keplero l'ultima delle sue leggi astronomiche, in base alla convinzione che musica e moti celesti fossero manifestazioni di una stessa armonia.

di Anna Maria Lombardi da Le Scienze nr 345

Le tre leggi di Keplero

sono oggi introdotte come unico strumento che descrive il moto dei pianeti del sistema solare. Ci può però incuriosire un fatto: le prime due leggi sono enunciate in un <<classico>> libro di astronomia, intitolato Astronomia Nova e pubblicato nel 1609, mentre la terza appare in un libro un po' bizzarro del 1619, intitolato Harmonice Mundi, nelle cui pagine Keplero discute di pianeti, musica e astrologia.Keplero avrebbe individuato tale legge dopo innumerevoli tentativi e l'avrebbe inserita in Harmonice Mundi solo per <<brevettare>> il frutto di 24 anni di lavoro. Già nel 1596 aveva notato che un pianeta più distante dal Sole ha un periodo di rivoluzione T più lungo; ma, avendo verificato che la forma più semplice dei rapporti, T1 /T2 =r1/r2, non era corretta, proponeva:   T1 /T2 =(r1/r2)^2. L'esponente esatto, come sostenne Owen Gingerich nel 1977, sarebbe poi scaturito per tentativi, scrivendo per caso i quadrati dei periodi a fianco dei cubi dei raggi e osservando che i valori coincidevano (figura 82). È a questo punto che sembra lecito domandarsi se, tra tutte le possibili combinazioni di potenze  dei periodi e dei raggi medi, non ve ne fossero alcune <<preferibili>> a priori dal punto di vista di Keplero. Bernard Cohen, in La Rivoluzione Newtoniana, dedica un semplice accenno alla questione, rimandando alle ipotesi di R.Small, Gian battista Delambre e Alexandre Koiré. Le opinioni dei tre studiosi sono in contrasto. I primi due ritengono che l'esponente  3/2 - nella formula (r1/r2)^ 3/2 =T1 /T2 - sia stato scelto semplicemente perché costituiva una via di mezzo tra la dipendenza lineare e quella quadratica. Koyré, invece, pensa che un tale procedimento sia poco <<Kepleriano>> e scrive:<<... inoltre, quando egli ci dice che l'idea concepita l'otto marzo 1618, e abbandonata perché non confermata dal calcolo, [...] tornò il 15 maggio dello stesso anno e si rivelò in perfetto accordo non solo con i fatti empirici, ma anche con i suoi studi presenti (armonici), sembra volerci far intendere che furono considerazioni di questo genere a spingerlo verso la scoperta della sua legge...>>.

Consideriamo allora l'ipotesi che siano stati gli interessi armonici di Keplero a influenzarlo nella scelta dell'esponente. La proporzione 3:2, e da sesquialtera, è infatti alla base del sistema musicale occidentale e lo stesso Keplero ne sottolinea il carattere fondamentale.

Nel terzo libro dell' Harmonice, dedicato agli intervalli musicali, Keplero anticipa che questi gli serviranno poi nel quinto libro per descrivere l'ordine dei moti celesti e, parlando in particolare dell'intervallo sesquialtero (detto oggi <<di quinta>>), avverte che tornerà sull'argomento trattando dei moti celesti (avvertimento che non viene invece ripetuto nella trattazione né degli intervalli precedenti, né di quelli successivi). Forse Keplero utilizzò criteri dimostrativi che noi riteniamo non corretti; ma, letta nella sua ottica,l'Harmonice era una meravigliosa architettura del pensiero umano. 

È comprensibile che l'apparizione di una legge di meccanica celeste all'interno di un libro di musica possa turbare lo scienziato o lo storico contemporaneo. Per esempio E. J. Dijckstherius, sebbene ammetta che Keplero fosseda un ventennio alla ricerca di una legge simile, ritiene che questa sia stata inserita nell'Harmonice come una semplice osservazione empirica, pur avendo <<ben poco a che vedere con il contenuto di quest'opera>>. Tale opera non apparterrebbe , insomma, alla produzione del Keplero scienziato: <<le sue speculazioni elaborate e fantastiche sulle armonie e matematiche costituite dai moti dei pianeti la rendono estremamente interessante per capire la personalità versatile, e in una certa misura imperscrutabile, di Keplero [...] ma non ebbe alcuna influenza sensibile sull'aspetto della scienza classica>> Le opinioni di Dijckstherius non sono però condivise da altri storici della scienza, come ad esempio Gerald Holton o Rudolf Haase, i quali ritengono che l'impossibilità di negare il contributo di Keplero alla scienza modernamente intesa abbia spinto alcuni studiosi a costruirne una figura di scienziato moderno (quale in effetti egli non era) e a scartare componenti ritenute oggi poco scientifiche (come per esempio la musica), che hanno invece un preciso ruolo nell'architettura del sistema Kepleriano. Keplero è realmente convinto che la musica e il sistema solare siano entrambi manifestazioni della stessa <<armonia>>, ed è solo partendo da questa idea che riusciremo ad apprezzare in pieno il suo lavoro.

Egli crede che esista una vis harmonica con un ruolo molto simile a quello della forza gravitazionale newtoniana. La vis harmonica condiziona il moto dei pianeti, costringendoli a muoversi in modo tale da esprimere l'archetipo dell'armonia. La ricerca di una teoria astronomico-musicale ha, del resto,1 lunga tradizione, che ha origine nella teoria aristotelica delle sfere celesti e che, ai tempi di Keplero, si esprimeva nel tentativo di descrivere l'universo come un monocordo, così che le distanze dei pianeti, del Sole e delle stelle dalla Terra venissero messe in relazione con la lunghezza di un accordo musicale (..........). Come i tasti di una chitarra, gli oggetti celesti segnano le posizioni che corrispondono alle diverse note. Un vantaggio che Keplero ha sui propri contemporanei consiste, come ha osservato G. Holton, e nel non decidere a priori il modo in cui l'armonia si deve esprimere: se, quindi, l'impronta del creatore si doveva leggere esclusivamente nella complicata sovrapposizione di <<armonici>> cerchi che avrebbe dovuto caratterizzare ciascuna orbita, Keplero pose come caratteristica ancor più imprescindibile l'esattezza che una creazione divina doveva manifestare. Se le complesse orbite ottenute per sovrapposizione di cerchi, o analogamente le proporzioni ipotizzate tra i raggi delle orbite planetarie, erano soltanto <<quasi>> precise, egli osò sospettare che l'armonia si nascondesse in altre relazioni tra più parametri. Un altro vantaggio della posizione Kepleriana consiste nella scelta di affrontare la musica con lo strumento della geometria, mentre tradizionalmente essa era studiata con l'aritmetica. Se l'astronomia si esprimeva per mezzo del linguaggio geometrico, allora Keplero era in grado di costruire realmente un unico sistema: una specie di teoria dell'evidenza concreta dell'armonia. Ripercorriamo ora le tappe dell'evoluzione della terza legge nell'ottica di Keplero. Egli cerca una legge di armonia che spieghi: perché determinati intervalli, e solo quelli, siano consonanti (ovvero, perché alcune coppie di note suonate contemporaneamente ci diano una sensazione piacevole); perché i pianeti si muovano in un certo modo (ovvero perché con quelle velocità, e non con altre, o con quelle orbite, e non con altre). Secondo il resoconto fornito dallo stesso Keplero nel Mysterium Cosmographicum, nel 1595 egli ebbe l'ispirazione che potesse esistere una relazione tra i raggi delle orbite planetarie e quelli delle sfere inscritte nei cinque poliedri regolari grazie al un disegno casualmente tracciato durante una lezione.

Tra le orbite dei sei pianeti copernicani di vi sono cinque spazi vuoti, in cui Keplero prova a inserire i cinque solidi platonici. Così, ad esempio, la sfera di Saturno è circoscritta a un cubo, in cui è a sua volta inscritta la sfera di Giove. Le sfere, per essere in grado di contenere lo <<scarto>> di raggio delle orbite non perfettamente circolari, devono essere in pratica delle croste sferiche di opportuno spessore, dipendente dalla eccentricità dell'orbita considerata. È grazie al tentativo di dimostrare questa teoria, che si rivelerà poi infondata agli occhi dello stesso Keplero, che lo scienziato getta le fondamenta della creativa, anche se contrastata, collaborazione con Tycho Brahe. Nel 1600 Keplero raggiunge Tycho in Boemia, con lo scopo di utilizzare i dati e osservativi da lui raccolti per calcolare con maggiore esattezza le distanze medie dei pianeti e le loro eccentricità. I frutti di numerosi anni di calcoli mostrano tuttavia che la sua ipotesi è una semplice approssimazione. Keplero cerca allora una nuova strada, esposta dettagliatamente nei cinque libri dell'Harmonice. Già nel Proemio si può leggere il programma di ricerca, volto al rinvenimento di proporzioni armoniche nei moti celesti. Dopo aver introdotto nei primi due libri gli strumenti matematici necessari e avere riconosciuto i limiti della teoria dei poliedri regolari, Keplero riporta nel terzo libro, la teoria musicale a lui contemporanea, citando come fonte il padre di Galilei, Vincenzo, e sottolineando il ruolo fondamentale della proporzione sesquialtera in musica; dopo il quarto libro, dedicato all'importanza dell'armonia in ogni ambito umano, si giunge a quello propriamente dedicato all'astronomia. Dapprima Keplero racconta il tentativo di ricavare una legge di armonia dalla forma delle orbite, ossia dalla loro eccentricità. Questo si rivela infruttuoso, ma Keplero non esiste: intuisce come sia possibile che le relazioni armoniche non vadano ricercate fra i dati sulle distanze, come era previsto dagli astronomi dell'epoca, bensì tra quelli sulle velocità (in ipsis motibus, non intervallis)  e, più precisamente, tra le velocità angolari calcolate rispetto al Sole nei due punti estremi dell'afelio e del perielio. Leggiamo nell'Harmonice Mundi:

<<il 15 maggio 1618, dopo 17 anni di lavoro e meditazione sui dati di Brahe [...] un lampo improvviso disperse le tenebre della mia mente [...] mostrandomi [...] come cosa sicurissima ed esattissima il fatto che la proporzione, che esiste tra le distanze medie e i periodi dei pianeti, sia proprio la proporzione sesquialtera>>. Una volta riconosciute le proprietà armoniche delle orbite planetarie nelle loro velocità massime e minime, e dopo aver fornito la chiave di lettura rapporto di velocità <> intervallo musicale, egli cerca di comprendere attraverso quali altri meccanismi armonici sia possibile descrivere il sistema solare come sistema armonico in tutti i suoi parametri, tenendo quindi conto, per esempio, anche dei raggi medi delle orbite e delle masse dei pianeti.

Avvalendosi dei dati Tycho Brahe, Keplero ha dunque mostrato che la prevista armonicità dei raggi medi delle orbite è inesatta: non è possibile creare una relazione tra raggi delle orbite e lunghezze di corde sonore così da ottenere intervalli consonanti. Questi ultimi si ottengono invece utilizzando, come parametri le velocità minime e massime dei pianeti: appare quindi evidente la necessità di trovare, come successivo anello di questa descrizione del sistema solare,1 relazione armonica, cioè una legge di tipo proporzionale, che leghi tra loro velocità (e quindi periodi di rivoluzione) e raggi medi. Ora pare molto logico che, fra tutte le relazioni possibili, si possa pensare a quella sesquialtera. Una volta rintracciata e sperimentalmente verificata, la terza legge diventa, agli occhi di Keplero, la prova decisiva della centralità del sole nel sistema solare. Egli non ha provato l'esistenza di una coerenza fisica, in quanto bisognerà aspettare la meccanica newtoniana per sistemare le leggi di Keplero all'interno di un'unica struttura fisica. Ha però dato la prova di una coerenza armonica: Keplero è consapevole del fatto che tali proporzioni non si ripropongono qualora si preferisca la rappresentazione tolemaica a quella copernicana. Come si legge sia nell'appendice de l'Harmonice (dove troviamo un confronto tra la teoria di Keplero e le analoghe di Tolomeo e di Robert Fludd), sia nell'Epitome, Keplero ricorda con Tolomeo sulla necessità che i corpi celesti si dispongano e si muovano rispettando proporzioni armoniche, ma da Tolomeo si distacca per la scelta dell'origine del sistema di riferimento, poiché <<nella sua solita astronomia sarebbe stato impossibile>> ritrovare tali proporzioni alla luce dei più recenti dati sperimentali. In conclusione: se, per Keplero, il fatto che la relazione tra periodi e raggi sia sesquialtera è tanto meraviglioso da farne un criterio per la scelta tra geocentrismo e copernicanesimo, credo sia oggi impossibile sostenere che quella relazione fosse, ai suoi occhi, una occasionale osservazione sperimentale.

Usato sin dall'antichità

per verificare i rapporti tra lunghezza di una corda di altezza del suono, il monocordo consiste di una corda tesa che, grazie a un perno scorrevole, si può suddividere in due parti lunghe a e b. Quando a = 3/2 b pizzicando i due segmenti si ascolta l'intervallo sesquialtero, modernamente detto di quinta. Tale intervallo, che possiamo ascoltare producendo per esempio le note Do e  Sol, ci permette di ricostruire tutta la scala musicale: infatti i 12 semitoni della scala pitagorica si ottengono moltiplicando una frequenza fondamentale n 12 volte consecutive per 3/2 e dividendo le frequenze così ottenute per un'opportuna potenza di due, al fine di riportare tutte le note nell'ambito della stessa ottava.

Se un tempo nella pratica musicale aveva la funzione di vero e proprio strumento, il monocordo trovò largo impiego sperimentale presso i pitagorici e gli studiosi medievali, permettendo loro di verificare i rapporti tra la lunghezza della corda e l'altezza del suono. I <<monocordi dell'universo>>, come questo di Robert Fludd (da Utriusque cosmi...historia, Oppenheim 1617-1619), testimoniano la diffusa convinzione che le stesse proporzioni esistenti tra le note musicali si dovessero ritrovare tra le distanze dei pianeti. La proporzione sesquialtera è qui chiamata <<diapente>>

 quellidellavialattea