...Abbiamo dimostrato che
se un astronauta riuscisse a condurre la propria astronave
abbastanza vicino a un oggetto estremamente compatto di grande
massa, come un buco nero, egli avvertirebbe una forza
<<centrifuga>> diretta verso l’interno e non verso
l’esterno, come ci si aspetterebbe, l’aumento della velocità
orbitale porterebbe a un aumento della forza centripeta. Nella
regione prossima a un buco nero, secondo i calcoli che abbiamo
fatto, non solo la forza centrifuga cambia verso, ma si capovolgono
tutti gli effetti dinamici che configurano la distinzione tra
esterno e interno, centro e periferia. questo effetto è importante
per capire alcuni aspetti della fisica dei buchi neri, che si pensa
siano una componente del motore centrale che alimenta le galassie
più brillanti del cosmo. Lo studio di questi "paradossi" della
forza centrifuga fornisce interessanti indizi sul comportamento di
queste fonti di energia galattiche. La causa del paradosso della
forza centrifuga è l'incredibile intensità del campo gravitazionale
prodotto dai buchi neri. Un buco nero imprigiona per sempre
qualunque tipo di radiazione o materia vi passi troppo vicino. Il
punto di non ritorno definisce l'estensione, o raggio
gravitazionale, del buco nero. Un buco nero con una massa
equivalente a quella del sole avrebbe un raggio gravitazionale di
circa 3 km. Se, per esempio, un raggio di luce si propagasse
parallelamente alla superficie del buco nero a una distanza pari a
tre volte il raggio gravitazionale, risulterebbe curvato di circa
45°. Un fatto di particolare rilievo è che un raggio di luce che
lambisca il buco nero a una distanza esattamente pari a 1,5 raggi
gravitazionali vi girerà intorno in un'orbita perfettamente
circolare. L'esistenza di questi raggi luminosi circolari è un
elemento fondamentale del paradosso della forza centrifuga. Quasi
20 anni fa Jean-Pierre Lasota (che oggi lavora all'osservatorio di
Parigi) e io scoprimmo per puro caso i primi indizi dell'esistenza
del paradosso. Stavamo lavorando presso il centro astronomico
Copernico di Varsavia su un problema piuttosto tecnico di teoria
della relatività generale. Per l'esattezza eravamo alle prese con
una formula complessa ricavata da una nostra studentessa Bozena
Muchotrzeb. Doveva evidentemente esserci un errore: la formula
calcolava la forza centrifuga subita da un oggetto orbitante
intorno a un buco nero sulla stessa traiettoria dei raggi luminosi
circolari, e stabiliva che l'oggetto, a qualsiasi velocità si
muovesse, avrebbe sempre avvertito la stessa forza totale che
lo attraeva verso il centro. In particolare, un oggetto immobile
avrebbe sperimentato la stessa forza centripeta subita da un
proiettile in modo a una velocità prossima a quella della luce. Era
noi non poteva trattarsi che di un'assurdità pura e semplice.
Secondo la dinamica elementare la forza centrifuga dipende dalla
velocità orbitale, ma la forza gravitazionale no. La forza totale -
e che altro non è se non la somma di quella gravitazionale e di
quella centrifuga - devi quindi dipendere anch'essa dalla velocità
orbitale. Dato che la formula non dava la risposta che ci
attendevamo, eravamo fermamente convinti che non potesse proprio
essere corretta. Eppure, ripetendo attentamente tutti i calcoli
necessari per ricavarla, non riuscivamo a trovare errori. Alla fine
risultò che la formula giusta, e quindi doveva essere corretta
anche la sua previsione paradossale sul comportamento della materia
che percorra la traiettoria di un raggio di luce circolare. Non ci
sono veri paradossi e fisica. A volte si trova paradossale un
fenomeno per inerzia mentale, quando si rimane ancorati a una
concezione incompleta che impedisce di capire come vadano le cose
nella realtà. Lasota e io ci rendemmo infine conto che il moto
sulla traiettoria di un raggio di luce circolare sembra essere un
paradosso così stridente perché è difficile accettare il fatto che
tali raggi, pur essendo circolari, in un certo senso sono anche
perfettamente rettilinei. Per elaborare un'immagine intuitiva
appropriata dei raggi di luce circolari si pensi a due astronauti
(chiamiamoli a Alice e Bob) che svolgono esperimenti in una
stazione spaziale costruita intorno a un buco nero. La stazione
alla forma di un tubo circolare centrato esattamente sulla
traiettoria del raggio di luce circolare, che quindi coincide con
l'asse del tubo. Gli astronauti sanno che l'asse del tubo è
circolare perché Bob ha misurato la curvatura delle pareti per
tutta la sua lunghezza usando regoli diritti; eppure, a causa della
deflessione dei raggi luminosi, essi vedono il tubo perfettamente
rettilineo. Per capire come questo avvenga, immaginiamo che Alice
fissi un riflettore al centro della sezione del tubo e poi comincia
a camminare lungo il tubo stesso, allontanandosi dal riflettore. La
sorgente luminosa le apparirà sempre al centro della sezione del
tubo, senza mai sparire dietro la curva; dovunque ella si trovi,
con la sua traiettoria circolare la luce la raggiungerà sempre.
Guardandosi alle spalle, Alice vedrà il riflettore sempre più
fievole via via che si allontana, mentre davanti a sé lo vedrà
sempre più luminoso; in realtà la luce circola lungo il tubo
ripetutamente, e quindi Alice ne vedrà addirittura un'immagine
multipla. Alice potrebbe avere qualche difficoltà a spiegare perché
vede il riflettore sia davanti sia dietro di sé, ed essere confusa
alla vista dell'immagine multipla, ma deve comunque concludere il
tubo è rettilineo perché le pareti non nascondono mai il
riflettore. Sulla base di ciò che vede, quindi, Alice non si
aspetterebbe che sugli oggetti in moto lungo il tubo agiscano
effetti centrifughi e dedurrebbe che su questi oggetti la forza
centrifuga sia nulla. Supporrebbe inoltre che l'unica forza attiva
sugli oggetti nel tubo sia quella gravitazionale, che non dipende
dalla velocità orbitale. Ora, il fatto interessante è che Alice può
formulare previsioni esatte proprio sulla base di ciò che vede: è
quello che io chiamo principio del <<vedere per
credere>>. [vedi schema]
Il significato profondo di questo principio non mi fu del tutto
chiaro fino al 1985. Quell'anno, un giorno di primavera, tenni una
chiacchierata informale all'ora di pranzo sul paradosso del raggio
di luce circolare presso l'Institute for Theorichal Physics di
Santa Barbara, in California. Avevo la fortuna di parlare al
cospetto di vari esperti di relatività, tra i quali Brandon Carter
dell'osservatorio di Parigi. Il giorno successivo Carter escogitò
un'idea brillante: si era reso conto che se un oggetto si muove a
velocità costante sulla traiettoria di un raggio di luce
qualsivoglia - rettilineo, curvo o circolare che sia - la forza che
lo tiene <<in pista>> non dipende dalla velocità del
moto. Naturalmente l'oggetto segue la traiettoria del raggio nello
spazio, ma la sua velocità è inferiore a quella della luce. Se per
esempio un razzo dovesse seguire la traiettoria di un raggio di
luce che rasenta il sole, dovrebbe modificare progressivamente la
propria direzione di un millesimo di grado. Per mantenere questa
traiettoria conservando una velocità costante, dovrebbe azionare i
retrorazzi in direzione perpendicolare alla traiettoria stessa;
tuttavia la forza che questi dovrebbero esercitare non dipenderebbe
dalla velocità del razzo. Carter avanzò l'ipotesi che il principio
del <<vedere per credere>> valga ovunque, in qualsiasi
campo gravitazionale. In altre parole, un oggetto qualsiasi che si
muova a velocità costante lungo la traiettoria di un raggio di luce
o curvato da un campo gravitazionale si comporta come se si
muovesse in linea retta. Successivamente Carter, Lasota e io
dimostrammo che questa ipotesi è giusta, condizione che il campo
gravitazionale in questione non si modifichi nel tempo. Elaborammo
così il concetto di <<geometria ottica>>, una struttura
concettuale molto utile per studiare il comportamento dinamico di
oggetti in campi gravitazionali intensi. In seguito John C. Miller
e l'osservatorio astronomico di Trieste e Zdenek Stuchlik
dell'Università slesiana di Opava, in Moravia, scoprirono
nell'ambito di questo quadro concettuale alcune relazioni
fondamentali tra dinamica e geometria, e Norbert Wex del Max-Plank
Institut fur Physik und Astrophysik di Monaco di Baviera propose un
sistema ingegnoso ed elegante per ad altare e la geometria ottica
al caso buchi neri in rotazione. La geometria spaziale
convenzionale si basa su misurazioni effettuate con normali
<<regoli>> rettilinei, che definiscono l'unità di
lunghezza. La geometria ottica invece, si basa su misurazioni
effettuate tramite segnali luminosi. Nella geometria convenzionale
si può misurare la lunghezza di una curva contando quanti regoli la
ricoprono. Si può allora di definire la distanza tra due punti
nello spazio come la lunghezza della curva più breve che li unisce;
questa curva di lunghezza minima si chiama geodetica. Se si fanno
misurazioni in uno spazio o, in alternativa, in uno spazio senza
campi gravitazionali, la curva più breve tra due punti, da
geodetica, è semplicemente una linea retta. In geometria ottica
invece la distanza tra due punti nello spazio è definita come la
metà del tempo che la luce impiega per andare da un punto all'altro
e tornare, misurato con un orologio situato nel primo punto. In uno
spazio privo di campi gravitazionali La geometria ottica è identica
a quella convenzionale perché sia i raggi luminosi sia le
geodetiche sono linee rette. In questo caso quindi i raggi luminosi
delineano la geometria dello spazio. Secondo la teoria della
relatività generale di Einstein, però, le tre dimensioni dello
spazio e la singola dimensione del tempo formano uno spazio-tempo
quadridimensionali, in qualsiasi spazio-tempo in cui siano presenti
o meno campi gravitazionali, la luce si muove sempre lungo
geodetiche, e quindi delinea in ogni caso la geometria dello
spazio-tempo. Se uno spazio è deformato da un campo gravitazionale,
però, i raggi di luce sono curvi e in generale non seguono le sue
geodetiche (ciò significa che le geodetiche di uno spazio non
coincidono con quelle dello spazio-tempo di cui fa parte). Quindi,
in generale, i raggi di luce non delineano la geometria dello
spazio.
La geometria ottica ripristina la corrispondenza tra geometria
dello spazio e traiettoria dei raggi luminosi applicando una
trasformazione a tutte le distanze <<vere>> (quelle
misurate con regoli rettilinei). L'impiego della geometria ottica è
simile, sotto molti aspetti, al procedimento che si segue per
realizzare una carta piana di un globo sferico; si tratta cioè di
un sistema per ottenere mappe maneggevoli di uno spazio curvo. Come
tale, la geometria ottica va incontro ad alcune delle stesse
difficoltà della cartografia convenzionale, in particolare
l'impossibilità di rappresentare un globo su una carta piana senza
introdurre una qualche distorsione. Tanto cartografia quanto in
geometria ottica una determinata rappresentazione può minimizzare
l'aberrazione di certe caratteristiche, ma al prezzo di uno
stravolgimento totale di altre. La scelta della rappresentazione
dipende quindi dallo scopo per cui si realizza la carta. La ben
nota proiezione geografica di Mercatore, per esempio, ingrandisce
enormemente le regioni polari, ma è preziosissima per la
navigazione perché rappresenta come rette tutte le lossodromiche
(curve sul globo che incontrano con angolo costante i successivi
paralleli). Analogamente, la geometria ottica distorce le distanze
effettive, ma è utilissima per studiare la propagazione della luce
e i fenomeni dinamici, perché nelle carte ottenute in questo modo i
raggi luminosi sono geodetiche. (Naturalmente questo vale a
condizione che il campo gravitazionale non vari nel tempo e che la
sua sorgente non ruoti su se stessa). In geometria ottica la
propagazione della luce e fenomeni dinamici sono collegati,
contrariamente a quanto avviene nella geometria convenzionale dello
spazio. La trasformazione delle distanze usate in geometria ottica
è un esempio di trasformazione conforme, un tipo di procedura
matematica impiegata spesso nella teoria della relatività. In
particolare questa trasformazione <<raddrizza>> i raggi
di luce curvi in modo da farli diventare geodetiche. Applicando la
geometria ottica si possono tralasciare alcune complessità tecniche
imposte dalla curvatura dello spazio  per concentrarsi invece
sui problemi fisici fondamentali; questo tipo di trasformazione
conforme permette così di comprendere in maniera intuitiva la
dinamica degli spazi curvi. I fenomeni dinamici infatti concordano
sempre con ciò che si osserva. La geometria ottica spiega quindi
perfettamente il comportamento in apparenza paradossale degli
oggetti che si muovono lungo la traiettoria di un raggio di luce
circolare. Il risultato generale più importante ottenuto con
l'ausilio della geometria ottica è forse la scoperta che in certe
situazioni lo spazio risulta rivoltato come un guanto, con
l'esterno e l'interno scambiati. Me ne resi conto leggendo un
articolo piuttosto tecnico di Malcom Anderson e José P. S. Lemos,
che fanno parte del gruppo di Donald Lynden-Bell dell'Università di
Cambridge, i quali hanno dimostrato che, se una nube di gas
percorre un'orbita molto stretta intorno un buco nero, l'attrito
viscoso nella nube trasferisce momento angolare verso l'interno.
Questa scoperta è molto strana perché di norma l'attrito viscoso
trasferisce momento angolare verso l'esterno. In effetti il
trasferimento verso l'esterno del momento angolare per effetto
dell'attrito viscoso è un meccanismo di importanza assolutamente
fondamentale per l'astrofisica, perché contribuisce a spiegare come
il disco di accrescimento (un tipo particolare di nube di gas) in
orbita intorno a un buco nero gli fornisca l'energia che serve ad
alimentare i nuclei attivi di alcune galassie. L'attrito regioni
interne ed esterne tende a rendere più rigida la rotazione del
disco di accrescimento, rallentando le regioni interne che ruotano
rapidamente e accelerando quelle esterne, più lente. Quando questo
avviene il momento angolare si trasferisce dall'interno
all'esterno. Anderson e Lemos scoprirono che l'attrito viscoso
poteva trasportare momento angolare verso l'interno, ma senza
fornire una spiegazione convincente. Dopo aver letto il loro
articolo, mi resi improvvisamente conto del fatto che la geometria
ottica propone una spiegazione di grande respiro di questo effetto
e di molti altri risultati ugualmente sorprendenti. Scoprii cioè
che lo spazio vicino un buco nero è rivoltato come un guanto: la
direzione interno-esterno definita dai regoli diritti è esattamente
opposta a quella definita dei raggi luminosi. Nella situazione
descritta da Anderson e Lemos il momento angolare in realtà viene
trasportato verso l'esterno, come è giusto che sia, ma il concetto
di esterno va inteso alla luce della geometria ottica.
Nella situazione
relativamente più normale che si ha a una certa distanza dal buco
nero l'orientazione interno-esterno della geometria ottica coincide
con quello della geometria convenzionale, ma vicino al buco nero le
due direzioni sono opposte, e quindi il momento angolare è
trasferito verso quello che normalmente sarebbe l'interno, con un
comportamento apparentemente paradossale. Per capire come mai ciò
avvenga, si pensi di nuovo alla stazione spaziale fatta a ciambella
intorno al buco nero, dove Alice e Bob svolgono esperimenti. In
questo caso però la stazione non è costruita intorno al raggio di
luce circolare, ma segue un cerchio più piccolo, sempre centrato
sul buco nero. Bob misura le distanze vere con un normale regolo
diritto, mentre Alice usa segnali luminosi per le sue misurazioni.
Supponiamo inoltre, per fissare le idee, che nel tubo i due
astronauti siano rivolti in modo da mantenere sempre il buco nero
alla propria sinistra. Con un regolo diritto, Bob riscontra che il
tubo è curvo verso sinistra, è in effetti le sue misurazioni
corrispondono alla geometria reale: se toccasse la parete interna
del tubo con le mani, la sentirebbe curvare verso sinistra; ne
desume perciò che l'esterno stia a destra. Dall'esperienza
quotidiana Bob sa inoltre che la forza centrifuga è diretta verso
l'esterno. Prevede quindi che gli oggetti in moto lungo il tubo
vengano spinti verso destra e, analogamente, che l'attrito viscoso
trasporti il momento angolare a destra. Ma in realtà è vero
l'esatto contrario. Alice compie una serie di misurazioni diverse,
basate su ciò che vede effettivamente, e queste la portano alla
conclusione esatta. Per prima cosa chiede a Bob di allontanarsi
portando con sé un riflettore in modo che questo percorra l'asse
del tubo. A questo punto, se i raggi luminosi non venissero
deflessi dal campo gravitazionale del buco nero (cioè se fossero
rettilinei) la sorgente di luce scomparirebbe dietro la parete
sinistra del tubo e Alice concluderebbe che esso curva a sinistra.
Se i raggi fossero circolari il riflettore rimarrebbe sempre in
vista, e quindi il tubo apparirebbe diritto; ma esso è tanto vicino
al buco nero che i raggi luminosi sono ancora più curvi di quelli
circolari. Alice vede perciò il riflettore sparire sulla destra e
ne deduce che il tubo curva a destra. Su queste basi prevede che la
forza centrifuga sia diretta verso sinistra e che l'attrito viscoso
trasferisca momento angolare verso sinistra. Le sue previsioni sono
giuste, come assicura il principio del <<vedere per
credere>>. Si noti che, in termini di geometria
convenzionale, nel tubo la forza centrifuga attira verso il centro
del moto circolare. Grazie alla geometria ottica, negli ultimi anni
si è riusciti a risolvere anche vari problemi astrofisici che
coinvolgono il comportamento di materia che ruota su se stessa in
campi gravitazionali molto intensi. I due più importanti problemi
di questo tipo sono il collasso gravitazionale di stelle in
rotazione e la fusione di due stelle di neutroni, che sono corpi
estremamente densi, in un solo oggetto. John Miller e io abbiamo
dimostrato che la geometria ottica può essere estremamente utile
per affrontare questi problemi. Abbiamo fornito una spiegazione
semplice della strana evoluzione della forma di una stella rotante
che si contrae. Impiegando la teoria non relativistica, ci si
aspetterebbe che una massa rotante di gas che si contragga
conservando il proprio momento angolare si appiattisca sempre di
più. Nel 1974 invece Subrahmanyan Chandarsekhar,
dell'Università di Chicago, e Miller, che allora lavorava
all'Università di Oxford, scoprirono che, secondo la teoria di
Einstein, nelle ultime fasi della contrazione, quando il campo
gravitazionale è molto intenso, l'appiattimento cessa e la stella
diventa più tondeggiante. Miller e io scoprimmo la spiegazione
corretta di questo effetto usando la geometria ottica e
considerando il comportamento insolito della forza centrifuga in un
campo gravitazionale così intenso.
Per convincere i miei colleghi che l'inversione della forza
centrifuga è un fenomeno fisico reale c'è voluto molto. Il nodo
della discussione era se fosse possibile definire e misurare la
forza centrifuga in uno spazio fortemente curvo. Questa domanda
solleva diversi problemi molto raffinati che i miei critici e io
abbiamo sviscerato svolgendo numerosi calcoli complessi. Gran parte
dei miei progressi li devo alle forti obiezioni sollevate da
Ferenando De Felice dell'Università di Torino con cui le amichevoli
battaglie mi hanno portato a adottare una definizione particolare
della forza centrifuga, che non è l'unica possibile, ma a mio
avviso la più utile possibile.
Ai fini della misurazione della forza centrifuga immagino due
astronavi che percorrono la stessa orbita intorno a un buco nero,
pilotate rispettivamente da Alice e Bob.
Ciascuna
astronave ha a bordo due strumenti,
un giroscopio e un peso fissato a una molla. Misurando la lunghezza
della molla, gli astronauti possono determinarne la tensione, che a
sua volta è pari alla somma delle due forze che agiscono sul peso:
gravitazionale e centrifuga. Per misurare una sola delle due forze,
Alice e Bob devono cambiare l'orientazione della loro astronave
rispetto all'orbita in maniera opportuna, facendola ruotare in modo
che la molla estesa punti sempre verso un segno di riferimento
sullo scafo. La direzione della molla è quindi fissa rispetto
all'astronave, ma non rispetto allo spazio. Ognuno dei due
giroscopi, al contrario, punta sempre in una direzione fissa nello
spazio, e quindi presenterà un moto di precessione rispetto alla
direzione della molla via via che l'astronave percorre la propria
orbita. Per misurare la forza gravitazionale Bob fa fermare la
nave; sa quando questo avviene perché il giroscopio smette di
precedere. A questo punto può affermare che la forza che estende la
molla è puramente gravitazionale. Riferisce allora il suo risultato
a Alice, che continua a sfrecciare intorno al buco nero sulla
stessa orbita. Alice misura la forza totale che estende la sua
molla e ne ricava la forza centrifuga sottraendo la forza
gravitazionale misurata da Bob. Questo metodo per misurare la forza
centrifuga potrà sembrare complicato, ma ha il vantaggio di essere
esattamente identico sia in campi gravitazionali forti sia in
quelli deboli. A livello fondamentale la geometria ottica mostra
che i concetti <<dentro>> e <<fuori>> non
sono assoluti. Ma, in uno spazio deformato da intensi campi
gravitazionali, relativi. Diversi secoli or sono si riteneva che
fossero concetti assoluti quelli di <<alto>> e
<<basso>>. Forse, prima della fine del prossimo secolo,
nessuno si sorprenderà che interno ed esterno siano
relativi.
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