quelli della via lattea

Astronomia Scienza e Cultura Individuale

astrofili non associati

I buchi neri e il paradosso della forza centrifuga

Per un oggetto che orbiti nelle vicinanze di un buco nero la forza centrifuga diviene in realtà centripeta, un effetto solo apparentemente paradossale che ha implicazioni di grande importanza per l'astrofisica

Articolo di Marek Artur Abramowicz,apparso sulle Scienze nr 296. ed.ita. di Scientific American

...Abbiamo dimostrato

che se un astronauta riuscisse a condurre la propria astronave abbastanza vicino a un oggetto estremamente compatto di grande massa, come un buco nero, egli avvertirebbe una forza <<centrifuga>> diretta verso l’interno e non verso l’esterno, come ci si aspetterebbe, l’aumento della velocità orbitale porterebbe a un aumento della forza centripeta.
Nella regione prossima a un buco nero, secondo i calcoli che abbiamo fatto, non solo la forza centrifuga cambia verso, ma si capovolgono tutti gli effetti dinamici che configurano la distinzione tra esterno e interno, centro e periferia. questo effetto è importante per capire alcuni aspetti della fisica dei buchi neri, che si pensa siano una componente del motore centrale che alimenta le galassie più brillanti del cosmo. Lo studio di questi "paradossi" della forza centrifuga fornisce interessanti indizi sul comportamento di queste fonti di energia galattiche. La causa del paradosso della forza centrifuga è l'incredibile intensità del campo gravitazionale prodotto dai buchi neri. Un buco nero imprigiona per sempre qualunque tipo di radiazione o materia vi passi troppo vicino. Il punto di non ritorno definisce l'estensione, o raggio gravitazionale, del buco nero. Un buco nero con una massa equivalente a quella del sole avrebbe un raggio gravitazionale di circa 3 km. Se, per esempio, un raggio di luce si propagasse parallelamente alla superficie del buco nero a una distanza pari a tre volte il raggio gravitazionale, risulterebbe curvato di circa 45°. Un fatto di particolare rilievo è che un raggio di luce che lambisca il buco nero a una distanza esattamente pari a 1,5 raggi gravitazionali vi girerà intorno in un'orbita perfettamente circolare. L'esistenza di questi raggi luminosi circolari è un elemento fondamentale del paradosso della forza centrifuga. Quasi 20 anni fa Jean-Pierre Lasota (che oggi lavora all'osservatorio di Parigi) e io scoprimmo per puro caso i primi indizi dell'esistenza del paradosso. Stavamo lavorando presso il centro astronomico Copernico di Varsavia su un problema piuttosto tecnico di teoria della relatività generale. Per l'esattezza eravamo alle prese con una formula complessa ricavata da una nostra studentessa Bozena Muchotrzeb. Doveva evidentemente esserci un errore: la formula calcolava la forza centrifuga subita da un oggetto orbitante intorno a un buco nero sulla stessa traiettoria dei raggi luminosi circolari, e stabiliva che l'oggetto, a qualsiasi velocità si muovesse, avrebbe sempre avvertito

 la stessa forza totale che lo attraeva verso il centro. In particolare, un oggetto immobile avrebbe sperimentato la stessa forza centripeta subita da un proiettile in modo a una velocità prossima a quella della luce. Era noi non poteva trattarsi che di un'assurdità pura e semplice. Secondo la dinamica elementare la forza centrifuga dipende dalla velocità orbitale, ma la forza gravitazionale no. La forza totale - e che altro non è se non la somma di quella gravitazionale e di quella centrifuga - devi quindi dipendere anch'essa dalla velocità orbitale. Dato che la formula non dava la risposta che ci attendevamo, eravamo fermamente convinti che non potesse proprio essere corretta. Eppure, ripetendo attentamente tutti i calcoli necessari per ricavarla, non riuscivamo a trovare errori. Alla fine risultò che la formula giusta, e quindi doveva essere corretta anche la sua previsione paradossale sul comportamento della materia che percorra la traiettoria di un raggio di luce circolare. Non ci sono veri paradossi e fisica. A volte si trova paradossale un fenomeno per inerzia mentale, quando si rimane ancorati a una concezione incompleta che impedisce di capire come vadano le cose nella realtà. Lasota e io ci rendemmo infine conto che il moto sulla traiettoria di un raggio di luce circolare sembra essere un paradosso così stridente perché è difficile accettare il fatto che tali raggi, pur essendo circolari, in un certo senso sono anche perfettamente rettilinei. Per elaborare un'immagine intuitiva appropriata dei raggi di luce circolari si pensi a due astronauti (chiamiamoli a Alice e Bob) che svolgono esperimenti in una stazione spaziale costruita intorno a un buco nero. La stazione alla forma di un tubo circolare centrato esattamente sulla traiettoria del raggio di luce circolare, che quindi coincide con l'asse del tubo. Gli astronauti sanno che l'asse del tubo è circolare perché Bob ha misurato la curvatura delle pareti per tutta la sua lunghezza usando regoli diritti; eppure, a causa della deflessione dei raggi luminosi, essi vedono il tubo perfettamente rettilineo. Per capire come questo avvenga, immaginiamo che Alice fissi un riflettore al centro della sezione del tubo e poi comincia a camminare lungo il tubo stesso, allontanandosi dal riflettore. La sorgente luminosa le apparirà sempre al centro della sezione del tubo, senza mai sparire dietro la curva; dovunque ella si trovi, con la sua traiettoria circolare la luce la raggiungerà sempre. Guardandosi alle spalle, Alice vedrà il riflettore sempre più fievole via via che si allontana, mentre davanti a sé lo vedrà sempre più luminoso; in realtà la luce circola lungo il tubo ripetutamente, e quindi Alice ne vedrà addirittura un'immagine multipla. Alice potrebbe avere qualche difficoltà a spiegare perché vede il riflettore sia davanti sia dietro di sé, ed essere confusa alla vista dell'immagine multipla, ma deve comunque concludere il tubo è rettilineo perché le pareti non nascondono mai il riflettore. Sulla base di ciò che vede, quindi, Alice non si aspetterebbe che sugli oggetti in moto lungo il tubo agiscano effetti centrifughi e dedurrebbe che su questi oggetti la forza centrifuga sia nulla. Supporrebbe inoltre che l'unica forza attiva sugli oggetti nel tubo sia quella gravitazionale, che non dipende dalla velocità orbitale. Ora, il fatto interessante è che Alice può formulare previsioni esatte proprio sulla base di ciò che vede: è quello che io chiamo principio del <<vedere per credere>>. [vedi schema]
Il significato profondo di questo principio non mi fu del tutto chiaro fino al 1985. Quell'anno, un giorno di primavera, tenni una chiacchierata informale all'ora di pranzo sul paradosso del raggio di luce circolare presso l'Institute for Theorichal Physics di Santa Barbara, in California. Avevo la fortuna di parlare al cospetto di vari esperti di relatività, tra i quali Brandon Carter dell'osservatorio di Parigi. Il giorno successivo Carter escogitò un'idea brillante: si era reso conto che se un oggetto si muove a velocità costante sulla traiettoria di un raggio di luce qualsivoglia - rettilineo, curvo o circolare che sia - la forza che lo tiene <<in pista>> non dipende dalla velocità del moto. Naturalmente l'oggetto segue la traiettoria del raggio nello spazio, ma la sua velocità è inferiore a quella della luce. Se per esempio un razzo dovesse seguire la traiettoria di un raggio di luce che rasenta il sole, dovrebbe modificare progressivamente la propria direzione di un millesimo di grado. Per mantenere questa traiettoria conservando una velocità costante, dovrebbe azionare i retrorazzi in direzione perpendicolare alla traiettoria stessa; tuttavia la forza che questi dovrebbero esercitare non dipenderebbe dalla velocità del razzo. Carter avanzò l'ipotesi che il principio del <<vedere per credere>> valga ovunque, in qualsiasi campo gravitazionale.

In altre parole, un oggetto qualsiasi che si muova a velocità costante lungo la traiettoria di un raggio di luce o curvato da un campo gravitazionale si comporta come se si muovesse in linea retta. Successivamente Carter, Lasota e io dimostrammo che questa ipotesi è giusta, condizione che il campo gravitazionale in questione non si modifichi nel tempo. Elaborammo così il concetto di <<geometria ottica>>, una struttura concettuale molto utile per studiare il comportamento dinamico di oggetti in campi gravitazionali intensi. In seguito John C. Miller e l'osservatorio astronomico di Trieste e Zdenek Stuchlik dell'Università slesiana di Opava, in Moravia, scoprirono nell'ambito di questo quadro concettuale alcune relazioni fondamentali tra dinamica e geometria, e Norbert Wex del Max-Plank Institut fur Physik und Astrophysik di Monaco di Baviera propose un sistema ingegnoso ed elegante per ad altare e la geometria ottica al caso buchi neri in rotazione. La geometria spaziale convenzionale si basa su misurazioni effettuate con normali <<regoli>> rettilinei, che definiscono l'unità di lunghezza. La geometria ottica invece, si basa su misurazioni effettuate tramite segnali luminosi. Nella geometria convenzionale si può misurare la lunghezza di una curva contando quanti regoli la ricoprono. Si può allora di definire la distanza tra due punti nello spazio come la lunghezza della curva più breve che li unisce; questa curva di lunghezza minima si chiama geodetica. Se si fanno misurazioni in uno spazio o, in alternativa, in uno spazio senza campi gravitazionali, la curva più breve tra due punti, da geodetica, è semplicemente una linea retta. In geometria ottica invece la distanza tra due punti nello spazio è definita come la metà del tempo che la luce impiega per andare da un punto all'altro e tornare, misurato con un orologio situato nel primo punto. In uno spazio privo di campi gravitazionali La geometria ottica è identica a quella convenzionale perché sia i raggi luminosi sia le geodetiche sono linee rette. In questo caso quindi i raggi luminosi delineano la geometria dello spazio. Secondo la teoria della relatività generale di Einstein, però, le tre dimensioni dello spazio e la singola dimensione del tempo formano uno spazio-tempo quadridimensionali, in qualsiasi spazio-tempo in cui siano presenti o meno campi gravitazionali, la luce si muove sempre lungo geodetiche, e quindi delinea in ogni caso la geometria dello spazio-tempo.

Se uno spazio è deformato da un campo gravitazionale, però, i raggi di luce sono curvi e in generale non seguono le sue geodetiche (ciò significa che le geodetiche di uno spazio non coincidono con quelle dello spazio-tempo di cui fa parte). Quindi, in generale, i raggi di luce non delineano la geometria dello spazio.

La geometria ottica ripristina la corrispondenza tra geometria dello spazio e traiettoria dei raggi luminosi applicando una trasformazione a tutte le distanze <<vere>> (quelle misurate con regoli rettilinei). L'impiego della geometria ottica è simile, sotto molti aspetti, al procedimento che si segue per realizzare una carta piana di un globo sferico; si tratta cioè di un sistema per ottenere mappe maneggevoli di uno spazio curvo. Come tale, la geometria ottica va incontro ad alcune delle stesse difficoltà della cartografia convenzionale, in particolare l'impossibilità di rappresentare un globo su una carta piana senza introdurre una qualche distorsione. Tanto cartografia quanto in geometria ottica una determinata rappresentazione può minimizzare l'aberrazione di certe caratteristiche, ma al prezzo di uno stravolgimento totale di altre. La scelta della rappresentazione dipende quindi dallo scopo per cui si realizza la carta. La ben nota proiezione geografica di Mercatore, per esempio, ingrandisce enormemente le regioni polari, ma è preziosissima per la navigazione perché rappresenta come rette tutte le lossodromiche (curve sul globo che incontrano con angolo costante i successivi paralleli). Analogamente, la geometria ottica distorce le distanze effettive, ma è utilissima per studiare la propagazione della luce e i fenomeni dinamici, perché nelle carte ottenute in questo modo i raggi luminosi sono geodetiche. (Naturalmente questo vale a condizione che il campo gravitazionale non vari nel tempo e che la sua sorgente non ruoti su se stessa). In geometria ottica la propagazione della luce e fenomeni dinamici sono collegati, contrariamente a quanto avviene nella geometria convenzionale dello spazio. La trasformazione delle distanze usate in geometria ottica è un esempio di trasformazione conforme, un tipo di procedura matematica impiegata spesso nella teoria della relatività. In particolare questa trasformazione <<raddrizza>> i raggi di luce curvi in modo da farli diventare geodetiche. Applicando la geometria ottica si possono tralasciare alcune complessità tecniche imposte dalla curvatura dello spazio per concentrarsi invece sui problemi fisici fondamentali; questo tipo di trasformazione conforme permette così di comprendere in maniera intuitiva la dinamica degli spazi curvi. I fenomeni dinamici infatti concordano sempre con ciò che si osserva. La geometria ottica spiega quindi perfettamente il comportamento in apparenza paradossale degli oggetti che si muovono lungo la traiettoria di un raggio di luce circolare. Il risultato generale più importante ottenuto con l'ausilio della geometria ottica è forse la scoperta che in certe situazioni lo spazio risulta rivoltato come un guanto, con l'esterno e l'interno scambiati. Me ne resi conto leggendo un articolo piuttosto tecnico di Malcom Anderson e José P. S. Lemos, che fanno parte del gruppo di Donald Lynden-Bell dell'Università di Cambridge, i quali hanno dimostrato che, se una nube di gas percorre un'orbita molto stretta intorno un buco nero, l'attrito viscoso nella nube trasferisce momento angolare verso l'interno. Questa scoperta è molto strana perché di norma l'attrito viscoso trasferisce momento angolare verso l'esterno. In effetti il trasferimento verso l'esterno del momento angolare per effetto dell'attrito viscoso è un meccanismo di importanza assolutamente fondamentale per l'astrofisica, perché contribuisce a spiegare come il disco di accrescimento (un tipo particolare di nube di gas) in orbita intorno a un buco nero gli fornisca l'energia che serve ad alimentare i nuclei attivi di alcune galassie. L'attrito regioni interne ed esterne tende a rendere più rigida la rotazione del disco di accrescimento, rallentando le regioni interne che ruotano rapidamente e accelerando quelle esterne, più lente. Quando questo avviene il momento angolare si trasferisce dall'interno all'esterno. Anderson e Lemos scoprirono che l'attrito viscoso poteva trasportare momento angolare verso l'interno, ma senza fornire una spiegazione convincente. Dopo aver letto il loro articolo, mi resi improvvisamente conto del fatto che la geometria ottica propone una spiegazione di grande respiro di questo effetto e di molti altri risultati ugualmente sorprendenti. Scoprii cioè che lo spazio vicino un buco nero è rivoltato come un guanto: la direzione interno-esterno definita dai regoli diritti è esattamente opposta a quella definita dei raggi luminosi. Nella situazione descritta da Anderson e Lemos il momento angolare in realtà viene trasportato verso l'esterno, come è giusto che sia, ma il concetto di esterno va inteso alla luce della geometria ottica.

Nella situazione relativamente più normale che si ha a una certa distanza dal buco nero l'orientazione interno-esterno della geometria ottica coincide con quello della geometria convenzionale, ma vicino al buco nero le due direzioni sono opposte, e quindi il momento angolare è trasferito verso quello che normalmente sarebbe l'interno, con un comportamento apparentemente paradossale. Per capire come mai ciò avvenga, si pensi di nuovo alla stazione spaziale fatta a ciambella intorno al buco nero, dove Alice e Bob svolgono esperimenti. In questo caso però la stazione non è costruita intorno al raggio di luce circolare, ma segue un cerchio più piccolo, sempre centrato sul buco nero. Bob misura le distanze vere con un normale regolo diritto, mentre Alice usa segnali luminosi per le sue misurazioni. Supponiamo inoltre, per fissare le idee, che nel tubo i due astronauti siano rivolti in modo da mantenere sempre il buco nero alla propria sinistra. Con un regolo diritto, Bob riscontra che il tubo è curvo verso sinistra, è in effetti le sue misurazioni corrispondono alla geometria reale: se toccasse la parete interna del tubo con le mani, la sentirebbe curvare verso sinistra; ne desume perciò che l'esterno stia a destra. Dall'esperienza quotidiana Bob sa inoltre che la forza centrifuga è diretta verso l'esterno. Prevede quindi che gli oggetti in moto lungo il tubo vengano spinti verso destra e, analogamente, che l'attrito viscoso trasporti il momento angolare a destra. Ma in realtà è vero l'esatto contrario. Alice compie una serie di misurazioni diverse, basate su ciò che vede effettivamente, e queste la portano alla conclusione esatta. Per prima cosa chiede a Bob di allontanarsi portando con sé un riflettore in modo che questo percorra l'asse del tubo. A questo punto, se i raggi luminosi non venissero deflessi dal campo gravitazionale del buco nero (cioè se fossero rettilinei) la sorgente di luce scomparirebbe dietro la parete sinistra del tubo e Alice concluderebbe che esso curva a sinistra. Se i raggi fossero circolari il riflettore rimarrebbe sempre in vista, e quindi il tubo apparirebbe diritto; ma esso è tanto vicino al buco nero che i raggi luminosi sono ancora più curvi di quelli circolari. Alice vede perciò il riflettore sparire sulla destra e ne deduce che il tubo curva a destra. Su queste basi prevede che la forza centrifuga sia diretta verso sinistra e che l'attrito viscoso trasferisca momento angolare verso sinistra. Le sue previsioni sono giuste, come assicura il principio del <<vedere per credere>>.

Si noti che, in termini di geometria convenzionale, nel tubo la forza centrifuga attira verso il centro del moto circolare. Grazie alla geometria ottica, negli ultimi anni si è riusciti a risolvere anche vari problemi astrofisici che coinvolgono il comportamento di materia che ruota su se stessa in campi gravitazionali molto intensi. I due più importanti problemi di questo tipo sono il collasso gravitazionale di stelle in rotazione e la fusione di due stelle di neutroni, che sono corpi estremamente densi, in un solo oggetto. John Miller e io abbiamo dimostrato che la geometria ottica può essere estremamente utile per affrontare questi problemi. Abbiamo fornito una spiegazione semplice della strana evoluzione della forma di una stella rotante che si contrae. Impiegando la teoria non relativistica, ci si aspetterebbe che una massa rotante di gas che si contragga conservando il proprio momento angolare si appiattisca sempre di più. Nel 1974 invece Subrahmanyan Chandarsekhar, dell'Università di Chicago, e Miller, che allora lavorava all'Università di Oxford, scoprirono che, secondo la teoria di Einstein, nelle ultime fasi della contrazione, quando il campo gravitazionale è molto intenso, l'appiattimento cessa e la stella diventa più tondeggiante. Miller e io scoprimmo la spiegazione corretta di questo effetto usando la geometria ottica e considerando il comportamento insolito della forza centrifuga in un campo gravitazionale così intenso.
Per convincere i miei colleghi che l'inversione della forza centrifuga è un fenomeno fisico reale c'è voluto molto. Il nodo della discussione era se fosse possibile definire e misurare la forza centrifuga in uno spazio fortemente curvo. Questa domanda solleva diversi problemi molto raffinati che i miei critici e io abbiamo sviscerato svolgendo numerosi calcoli complessi. Gran parte dei miei progressi li devo alle forti obiezioni sollevate da Ferenando De Felice dell'Università di Torino con cui le amichevoli battaglie mi hanno portato a adottare una definizione particolare della forza centrifuga, che non è l'unica possibile, ma a mio avviso la più utile possibile.
Ai fini della misurazione della forza centrifuga immagino due astronavi che percorrono la stessa orbita intorno a un buco nero, pilotate rispettivamente da Alice e Bob.

Ciascuna astronave

ha a bordo due strumenti, un giroscopio e un peso fissato a una molla. Misurando la lunghezza della molla, gli astronauti possono determinarne la tensione, che a sua volta è pari alla somma delle due forze che agiscono sul peso: gravitazionale e centrifuga. Per misurare una sola delle due forze, Alice e Bob devono cambiare l'orientazione della loro astronave rispetto all'orbita in maniera opportuna, facendola ruotare in modo che la molla estesa punti sempre verso un segno di riferimento sullo scafo. La direzione della molla è quindi fissa rispetto all'astronave, ma non rispetto allo spazio. Ognuno dei due giroscopi, al contrario, punta sempre in una direzione fissa nello spazio, e quindi presenterà un moto di precessione rispetto alla direzione della molla via via che l'astronave percorre la propria orbita. Per misurare la forza gravitazionale Bob fa fermare la nave; sa quando questo avviene perché il giroscopio smette di precedere. A questo punto può affermare che la forza che estende la molla è puramente gravitazionale. Riferisce allora il suo risultato a Alice, che continua a sfrecciare intorno al buco nero sulla stessa orbita. Alice misura la forza totale che estende la sua molla e ne ricava la forza centrifuga sottraendo la forza gravitazionale misurata da Bob. Questo metodo per misurare la forza centrifuga potrà sembrare complicato, ma ha il vantaggio di essere esattamente identico sia in campi gravitazionali forti sia in quelli deboli. A livello fondamentale la geometria ottica mostra che i concetti <<dentro>> e <<fuori>> non sono assoluti. Ma, in uno spazio deformato da intensi campi gravitazionali, relativi. Diversi secoli or sono si riteneva che fossero concetti assoluti quelli di <<alto>> e <<basso>>. Forse, prima della fine del prossimo secolo, nessuno si sorprenderà che interno ed esterno siano relativi.                  

           quelli della via lattea