Il caos quantistico.

Nell'ordinato universo ondulatorio della meccanica quantistica si cela il caos? Sulla base delle ricerche più recenti è così: indizi di caos compaiono anche nella distribuzione dei livelli energetici degli atomi.

di Martin C. Gutzwiller apparso su Le Scienze nr 283/03/92

Nel 1917 Albert Einstein scrisse una memoria che rimase del tutto ignorata per quarant'anni. In essa veniva sollevato un problema e solo di recente i fisici hanno cominciato ad affrontare: quali effetti provocherebbe nella meccanica quantistica (la teoria che descrive il mondo atomico e quello subatomico) il caos classico, che si annida ovunque nel nostro mondo? è da molto tempo, naturalmente, che sono stati osservati gli effetti del caos classico: Keplero sapeva delle irregolarità del moto della luna intorno alla Terra e Newton si rammaricava di questo fenomeno. Alla fine del secolo scorso e l'astronomo americano George William Hill dimostrò che le irregolarità sono dovute unicamente all'attrazione gravitazionale del sole. Poco dopo il grande  Hanry Poincaré avanzò l'ipotesi che il moto della luna fosse soltanto una forma benigna di una malattia congenita che affligge quasi tutti i sistemi. Poincaré intuì che, in tempi lunghi, la maggior parte dei sistemi dinamici non manifesta regolarità osservabili o configurazioni ricorrenti. Il comportamento di un sistema anche semplice può essere così sensibile alle condizioni iniziali da rendere incerto l'esito finale. Più o meno all'epoca in cui Henri Poincaré svolgeva le sue seconde ricerche sul caos classico, Max Plank avviava un'altra rivoluzione, che avrebbe portato alla moderna teoria quantistica.i semplici sistemi già studiati da Newton furono ripresi in esame, questa volta però a scala atomica. Il corrispondente quantistico dell'umile  pendolo è il laser; le palle di cannone del mondo atomico sono fasci di protoni o di elettroni e la ruota che gira è l'elettrone dotato di spin (che costituisce l'elemento fondamentale dei nastri magnetici). Persino il sistema solare nel suo complesso è rispecchiato in ciascuno degli atomi del sistema periodico degli elementi. Forse la caratteristica più saliente del mondo quantistico è la sua natura regolare e ondulatoria. È proprio questa caratteristica sollevare il problema di come il caos possa manifestarsi nel passaggio dal mondo classico al mondo quantistico. Come può la natura del tutto irregolare del caos classico conciliarsi con quella regolare e ondulatoria dei fenomeni a scala atomica? Nel mondo quantistico esiste il caos?  Il caos e si riscontra nella distribuzione dei livelli energetici di certi sistemi atomici e sembra addirittura insinuarsi nelle funzioni d'onda associate questi livelli. Lo si osserva anche quando gli elettroni vengono diffusi da molecole di piccole dimensioni. Devo sottolineare che la locuzione <<caos quantistico>> serve più a indicare un enigma che a un problema ben posto. Per affrontare il caos quantistico...può essere utile la seguente interpretazione riferita a un quadro più ampio. Tutte le nostre discussioni teoriche sulla meccanica possono essere classificate, in modo un po' artificioso, in tre categorie anche se la natura non conosce divisioni di questo genere. Nella prima categoria rientra la meccanica classica elementare. Poiché questa categoria contiene tutti quei sistemi piacevolmente chiari che manifestano un comportamento semplice e regolare, la chiamerò R come regolare. In R rientra anche un raffinato strumento matematico chiamato teoria delle perturbazioni, che viene usato per calcolare gli effetti di piccole interazioni e di disturbi esterni, come l'effetto del Sole sul moto della Luna intorno alla Terra. Con l'ausilio della teoria delle perturbazioni oggi sappiamo interpretare gran parte dei fenomeni fisici in termini di scostamenti relativamente moderati dal comportamento di sistemi regolari. Tuttavia la realtà è molto più complicata: i sistemi caotici sfuggono al campo di applicazione della teoria delle perturbazioni e costituiscono la seconda categoria. Poiché le prime analisi dettagliate dei sistemi caotici furono effettuate da Poincaré.In suo onore chiamerò P questa categoria. Essa è colma di quei sistemi dinamici caotici che sono il pane quotidiano della scienza. In P rientrano tutti i problemi fondamentali della meccanica, a partire dal problema di tre (anziché solo due) corpi in interazione reciproca, quali la Terra, la Luna e il Sole o i tre atomi della molecola dell'acqua o i tre quark del portone. La meccanica quantistica, così come è stata praticata per circa novant'anni, appartiene alla terza categoria, che perciò chiamerò  Q. Dopo il lavoro pionieristico di Max Plank, Albert Einstein e Niels Bohr, la meccanica quantistica ricevette la sua forma definitiva in soli quattro anni, a partire dal 1924. Le seconde ricerche di Louis-Victor de Broglie, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, Wolfgang Pauli e PAM Dirachanno superato senza incertezze e le verifiche di laboratorio. Miracolosamente, la teoria quantistica ha dotato la fisica di una impalcatura matematica che, per dirla con Dirac, ha consentito la comprensione profonda di <<gran parte della fisica e di tutta la chimica>>. Nondimeno, benché moltissimi fisici e chimici abbiano imparato a risolvere particolari problemi di meccanica quantistica, ancora non si è riusciti a penetrare le incredibili sottigliezze di questo campo di ricerca. Queste sottigliezze sono affatto distinte dai difficili problemi concettuali legati all'interpretazione della meccanica quantistica. Fra le tre categorie che abbiamo sommariamente descritto esistono vari legami. Il legame tra R e Q è noto col nome di principio di corrispondenza di Bohr; secondo questo principio molto ragionevole, la meccanica classica è un caso limite di quella quantistica quando le dimensioni degli oggetti trattati siano molto più grandi di quelle degli atomi. Il principale tra R e P è il teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), il quale costituisce un potente strumento per calcolare quanto della struttura di un sistema regolare sopravvive quando ad esso venga applicata una piccola perturbazione. Il teorema KAM può quindi individuare le perturbazioni che portano un sistema regolare a manifestare un comportamento caotico. Il caos quantistico riguarda il legame tra le categorie P (sistemi caotici) e Q (sistemi quantistici). Per stabilire questa relazione è utile introdurre il concetto di spazio delle fasi. Non tutti sanno che lo spazio delle fasi, ogni tanto sfruttato dagli esperti di sistemi dinamici, fu introdotto da Newton. Questo concetto si trova infatti nell'opera Philosophiae naturalis principia mathematica, pubblicata nel 1687. Così suona la seconda definizione del primo capitolo, intitolato appunto <<Definizioni>>: <<La quantità di moto e la misura del medesimo ricavata dal prodotto della velocità per la quantità di materia.>> Tradotte in linguaggio moderno, le parole di Newton significano che per ogni oggetto esiste una grandezza, la quantità di moto, che è il prodotto della massa dell'oggetto per la sua velocità. Newton enuncia le leggi del moto del secondo capitolo, intitolato <<assiomi o le leggi del moto>>.

La seconda legge stabilisce che la variazione del moto è proporzionale alla forza impressa. Newton collega la forza alla variazione della quantità di moto (e non all'accelerazione, come si legge nella maggior parte dei libri di testo). La quantità di moto è effettivamente una delle due grandezze che, considerate insieme, forniscono un'informazione completa riguarda un sistema dinamico in un certo istante. L'altra grandezza e semplicemente la posizione, che determina l'intensità e la direzione della forza. L'intuizione che portò Newton a scoprire la natura duale di quantità di moto e posizione fu giustificata meglio circa un secolo e mezzo più tardi da due matematici, William Rowan Hamilton e Karl Gustav Jacob Jacobi. L'accoppiamento di quantità di moto e posizione non avviene più nel vecchio spazio  euclideo a tre dimensioni, bensì nello spazio delle fasi è dotato di sei dimensioni, tre per la posizione e tre per la quantità di moto. Sotto il profilo matematico l'introduzione dello spazio delle fasi una splendida conquista, ma per l'intuizione esso costituisce un serio ostacolo: come si possono visualizzare sei dimensioni? Per fortuna in certi casi lo spazio delle fasi può essere ridotto a tre o, meglio, a due dimensioni. Questa riduzione è possibile quando si esamina il comportamento di un atomo di idrogeno in un intenso campo magnetico. L'atomo di idrogeno è da molto tempo uno dei sistemi più <<corteggiarti>> per la sua semplicità: un elettrone solitario che ruota intorno un solo portone. Eppure il modo classico dell'elettrone diviene a ottico quando viene applicato il campo magnetico. Come facciamo a sostenere che comprendiamo la fisica se non sappiamo risolvere questo problema basilare?In condizioni normali, l'elettrone di un atomo di idrogeno è fortemente legato al portone e il comportamento dell'atomo è soggetto alle regole della meccanica quantistica. L'atomo cioè non è libero di assumere un'energia arbitraria, ma può occupare solo determinati stati energetici discreti o quantizzati. A basse energie e i valori permessi sono piuttosto distanti tra loro. Via via che l'energia aumenta, crescono le dimensioni dell'atomo e che l'elettrone si muove su un'orbita situata a maggiore distanza dal portone e i valori permessi dell'energia si avvicinano l'uno all'altro. Quando l'energia è sufficientemente alta (ma non troppo, altrimenti l'atomo perde il suo elettrone!), i valori permessi si avvicinano moltissimo tra loro, formando in pratica un continuo: a questo punto è lecito applicare le regole della meccanica classica. Un atomo con un'eccitazione così elevata si chiama atomo di Rydberg. Gli atomi di Rydberg occupano una zona intermedia tra il mondo quantistico e quello classico e sono perciò candidati ideali per studiare il principio di corrispondenza di Bohr, che collega le categorie Q (fenomeni quantistici) e R (fenomeni classici). Se fosse possibile indurre un atomo di Rydberg a manifestare un comportamento caotico nel senso classico, esso potrebbe offrirci qualche indizio sulla natura del caos quantistico e quindi fornirci lumi sui sistemi situati tra le categorie Q e P (fenomeni caotici). Un atomo Rydberg immerso in un campo magnetico intenso manifesta un comportamento caotico, ma per osservarlo occorre ridurre il numero di dimensioni dello spazio delle fasi. Il primo passo consiste nell'osservare che il campo magnetico applicato introduce nell'atomo un asse di simmetria. In effetti il moto dell'elettrone avviene in un piano bidimensionale e il moto intorno all'asse può esserne separato; hanno rilevanza solo le distanze in direzione parallela e perpendicolare all'asse.La simmetria del moto riduce da sei a quattro dimensioni dello spazio delle fasi. Un aiuto addizionale si viene fornito dal fatto che nessuna forza esterna compie lavoro sull'elettrone e di conseguenza l'energia totale non varia nel tempo. Scegliendo un valore particolare dell'energia, si può estrarre dallo spazio delle fasi quadridimensionale un <<guscio>> di energia, cioè una fetta tridimensionale. Questo guscio ci consente di osservare le contorsioni e le curve dell'elettrone, e in effetti si può vedere qualcosa che assomiglia a un'intricata scultura di fili. Il quadro che ne risulta può essere ulteriormente semplificato grazie una elegante soluzione di Poincaré, il quale suggerì di considerare un piano bidimensionale fisso (detto sezione di Poincaré) che attraverso il guscio di energia e di osservare i punti in cui la traiettoria interseca il piano. La sezione di Poincaré riduce il intricata struttura di fili a un insieme di punti su un piano. Che cosa ci rivela l'atomo di Rydberg sulla relazione tra le categorie P e Q? Come ho già detto, uno dei tratti caratteristici di un sistema quantistico è dato dai suoi livelli di energia discreti, e in effetti livelli energetici sono il primo posto dove cercare il caos quantistico. Tuttavia il caos non si manifesta in un particolare livello energetico: la sua presenza può essere individuata nello spettro, o distribuzione, dei livelli. Può forse sembrare paradossale, ma in un sistema quantistico non caotico i livelli energetici sono distribuiti a caso e senza correlazione, mentre i livelli energetici di un sistema quantistico caotico presentano forti correlazioni. I livelli del sistema non caotico sono spesso vicini tra loro perché un sistema del genere è composto da sottoinsiemi più piccoli che sono del tutto disaccoppiati. I livelli energetici del sistema caotico, invece, sembrano quasi consapevoli in uno dall'altro e cercano di mantenersi a distanza di sicurezza. Un sistema caotico non può essere scomposto: il moto lungo un'asse coordinato e sempre accoppiato a ciò che avviene lungo l'altro asse.lo spettro di un sistema caotico quantistico fu proposto da Eugene P. Wigner, anch'egli tra i primi maestri della meccanica quantistica. Come avevano fatto molti altri, Wigner osservò che la fisica nucleare e non possiede i solidi puntelli della fisica atomica e molecolare: l'origine della forza nucleare non è ancora stata individuata con chiarezza. Egli si chiese pertanto se le proprietà statistiche degli spettri nucleari si potessero ricavare dall'ipotesi che molti parametri di problema hanno valori ben definiti, ma ignoti. Questo punto di partenza piuttosto vago gli consentì di scoprire la formula più probabile della distribuzione. Oriol Bohigas e Marie-Joya Giannoni, dell'Institut Physique Nucléaire di Orsay, vicino a Parigi, furono i primi osservare che la distribuzione di Wigner coincide esattamente con quella che si trova per lo spettro di un sistema dinamico caotico.Il caos non sembra tuttavia limitarsi alla distribuzione dei livelli energetici quantizzati: anzi, sembra addirittura insinuarsi nella natura ondulatoria del mondo quantistico. La posizione dell'elettrone dell'atomo di idrogeno è descritta da una funzione d'onda. L'elettrone non può essere localizzato nello spazio: è come una macchia nebulosa che si libra vicino al protone.  Ogni livello energetico permesso è associato uno stato stazionario, che è una configurazione  ondulatoria che non si modifica nel tempo. Uno stato stazionario assomiglia molto alla figura di risonanza di una membrana tesa su un telaio rigido, come un tamburo. Gli stati stazionari di un sistema caotico hanno una struttura interessantissima, come dimostrò all'inizio degli anni 80 Eric Heller dell'Università di Washington. Heller e i suoi studenti calcolarono una serie di stati stazionari per una cavità bidimensionale a forma di stadio. Si sapeva che il sistema corrispondente in meccanica classica era caotico e che in breve tempo una generica traiettoria ricopre uniformemente gran parte della regione del piano all'interno della cavità. Questo comportamento farebbe pensare che anche gli stati stazionari possono apparire aleatori, come se fossero assegnati senza alcuna regola o criterio. Invece Heller scoprì che gran parte degli stati stazionari è concentrata intorno stretti canali che delineano semplici forme all'interno della cavità, canali ai quali si diede il nome di <<cicatrici>>

Strutture simili si possono anche osservare negli stati stazionari di un atomo di idrogeno immerso in un campo magnetico di elevata intensità La regolarità delle forme d'onda quantistiche è conservata localmente, ma quando ci si allontana per osservare il quadro nel suo insieme la firma del caos si fa evidente. Si può collegare l'impronta caotica dello spettro di energia alla meccanica classica. Un suggerimento per affrontare questo problema è contenuto in uno scritto di Einstein del 1917, dove si studia lo spazio delle fasi di un sistema della categoria R; sotto il profilo geometrico, questo spazio pieno di superfici a forma di toro e la traiettoria del sistema è identificabile con il moto di un punto a superficie di un particolare toro. La traiettoria si avvolge in modo regolare sulla superficie toroidale, ma non si richiude necessariamente su se stessa. Nella rappresentazione di Einsteinè semplice applicare il principio di corrispondenza di Bohr per trovare i livelli energetici dell'analogo sistema quantistico. Il sole traiettoria che possono presentarsi in natura sono quelle in cui la sezione del toro racchiude un'area pari a un multiplo intero della costante di Plank h (pari a 2pi-greco volte di quanto fondamentale del momento angolare, che ha le dimensioni di una quantità di moto moltiplicata per una lunghezza). Ne risulta che questo multiplo è proprio il numero che definisce il livello energetico corrispondente nel sistema quantistico. Purtroppo, come Einstein intuii, questo metodo non può essere applicato se il sistema caotico, perché in tal caso la traiettoria non giace su un toro e non esiste un volume naturale la cui sezione abbia un'area pari a un multiplo intero della costante di Plank. E spiegare la distribuzione dei livelli energetici quantistici in termini delle orbite caotiche della meccanica classica si deve adottare un altro metodo. Quali caratteristiche della traiettoria classica possono aiutarci a capire il caos quantistico? Un indizio è fornito dalla discussione di Hill sull'irregolarità dell'orbita lunare causata dalla presenza del sole. Il lavoro di Hill fu il primo caso in cui si sia scoperto che una particolare orbita periodica era alla base di un difficile problema di meccanica. (un'orbita periodica è come una pista chiusa su cui si muove il sistema; ne esistono molte, benché siano isolate e instabili.)  Ci si può ispirare anche al lavoro di Poincaré, che sottolineò l'importanza generale delle orbite periodiche. All'inizio della sua opera in tre volumi Méthodes nouvelles de la mecanique céleste, apparsa nel 1892, e gli espresse la convinzione che le orbite periodiche <<offrano l'unica breccia attraverso la quale penetrare nella fortezza che ha fama di essere inespugnabile>>. Lo spazio delle fasi di un sistema caotico può essere organizzato, almeno in parte, intorno a orbite periodiche, anche se talvolta è molto difficile trovarle. Nel 1970 scoprii un metodo molto generale per ottenere informazioni sullo spettro quantistico da un enumerazione completa delle teorie periodiche carsiche. Gli aspetti matematici di questo metodo sono troppo difficili per affrontarli qui, ma il risultato principale è un'espressione relativamente semplice, detta <<formula della traccia>>. Il metodo è stato ormai impiegato da numerosi ricercatori, tra cui Michael V. Berry dell'Università di Bristol che ha utilizzato la formula per ricavare le proprietà statistiche dello spettro. Ho applicato la formula della traccia per calcolare i primi 24 livelli energetici di un elettrone appartenente al reticolo cristallino di un semiconduttore nelle vicinanze di una delle sue impurezze. Come è noto, i semiconduttori sono alla base degli stupefacenti dispositivi da cui dipende la società contemporanea; grazie alle loro impurezze, la conducibilità elettrica di questi materiali sta a metà strada tra quella degli isolanti, come la plastica, e quella dei conduttori, come il rame. La traiettoria dell'elettrone può essere univocamente determinata mediante una successione di simboli di interpretazione immediata. Questa successione si costruisce definendo un asse nel semiconduttore e annotando semplicemente quando la traiettoria attraverso l'asse. A1 attraversamento verso la semiretta <<positiva>> dell'asse si associa il simbolo + e un attraversamento verso la semiretta <<negativa>> il simbolo -. Quindi una traiettoria descritta dal sistema appare come la registrazione di una serie di lanci di una moneta. Anche se il passato è conosciuto in ogni dettaglio, cioè anche se tutti gli attraversamenti sono stati annotati, il futuro è ancora del tutto aperto.  La successione degli attraversamenti può essere scelta arbitrariamente. Un'orbita periodica consiste in una successione binaria che si ripete; la più semplice di queste successioni è ( + - ), poi viene (+ + -) e così via. (Due attraversamenti consecutivi con lo stesso segno indicano che l'elettrone è stato temporaneamente intrappolato.) Così tutte le orbite periodiche vengono enumerate ed è possibile calcolare uno spettro approssimato con l'ausilio della formula della traccia. In altre parole, i livelli energetici quantistici sono ottenuti mediante un'approssimazione che si basa soltanto su grandezze classiche. Le orbite periodiche classiche e lo spettro quantistico sono tra loro strettamente correlati tramite quel procedimento matematico che si chiama analisi di Fourier. Le regolarità nascoste di uno dei due insiemi e la frequenza con cui esse si manifestano sono individuate esattamente dall'altro insieme. Karl H. Welge e colleghi dell'Università di Bielefeld hanno effettuato ricerche sperimentali su questi spettri eccitando atomi di idrogeno fin quasi al punto di ionizzazione, punto in cui l'elettrone si libera del portone. In queste condizioni le energie alle quali gli atomi assorbono le radiazione sono assolutamente casuali, ma< l'analisi di Fourier trasforma questo guazzabuglio di picchi in una famiglia di picchi ben distinti. La caratteristica più interessante è che ciascuno di questi picchi distinti corrisponde esattamente a una delle molte orbite periodiche canoniche classiche. Ecco dunque che l'insistenza di Poincaré sull'importanza delle orbite periodiche acquista un nuovo significato. dalle orbite periodiche classiche dipende in modo critico non solo l'organizzazione classica dello spazio delle fasi, ma anche la comprensione di uno spettro quantistico caotico. Finora ci siamo soffermati soltanto sui sistemi quantistici in cui un elettrone è intrappolato o confinato spazialmente, ma gli effetti caotici sono presenti anche i sistemi atomici nei quali un elettrone può pagare liberamente, come accade, per esempio, quando viene diffuso dagli atomi di una molecola. In tal caso i livelli energetici non sono più quantizzati e l'energia dell'elettrone può assumere un valore qualunque, ma l'efficacia della diffusione dipende dall'energia stessa. Nella diffusione quantistica e il caos si manifesta sotto forma di variazioni del tempo in cui l'elettrone è temporaneamente intrappolato nella molecola durante il processo di diffusione. Per semplicità il problema può essere iato in due dimensioni. All'elettrone una molecola di quattro atomi appare come un piccolo labirinto. Quando si avvicina a un atomo, l'elettrone ha due scelte, potendo deviare verso destra o verso sinistra. ciascuna delle traiettorie possibili dell'elettrone nella molecola può essere quindi individuata da una successione di svolte a destra e a sinistra intorno agli atomi, finché la particella emerge. Tutte queste traiettorie sono instabili: anche una variazione minima dell'energia o della direzione iniziale dell'avvicinamento provoca un notevole cambiamento della direzione lungo la quale, alla fine, l'elettrone abbandona la molecola. Nel fenomeno della diffusione e il caos scaturisce dal rapido aumento del numero delle traiettorie possibili con la lunghezza del percorso. Solo una interpretazione in termini quantistici da risultati ragionevoli: un calcolo puramente classico conduce a conclusioni prive di senso. In meccanica quantistica ciascuna traiettoria classica dell'elettrone è usata per definire un pacchetto d'onda che serpeggiando attraverso la molecola. Il risultato quantistico si ottiene semplicemente sommando tutti questi pacchetti d'onda. Di recente ho studiato le conseguenze del processo di diffusione in un caso particolare in cui la somma dei pacchetti d'onda si conosce con precisione. Un elettrone di cui è nota la quantità di moto colpisce una molecola e ne emerge con la stessa quantità di moto. Il tempo impiegato dell'elettrone per raggiungere un punto di rilevamento fissato varia in funzione della quantità di moto, ed è proprio il modo in cui varia il tempo di arrivo che è tanto interessante in questo problema. Il tempo di arrivo fluttua con regolarità per piccole variazioni della quantità di moto, ma per variazioni cospicue si manifesta un comportamento caotico che non intende mai di stabilizzarsi in una configurazione semplice.

Un aspetto particolarmente seducente del processo di diffusione caotico è che in esso i misteri del caos quantistico si connettono ai misteri della teoria dei numeri. Infatti il calcolo del ritardo porta dritto a quello che è forse l'oggetto più enigmatico di tutta la matematica, la funzione zeta di Riemann. In realtà il primo a cercarla fu Leonhard Euler, verso la metà del 700, per dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi (cioè di interi che si possono dividere solo per se stessi e per l'unità). Circa un secolo dopo Bernhard Riemann, 1 dei fondatori della matematica moderna, usò questa funzione per studiare la distribuzione dei numeri primi e, nella sua unica memoria su questo argomento, la indicò con la lettera greca zeta. La funzione zeta è una funzione di due variabili, x e y (definita nel piano complesso). Per capire la distribuzione dei numeri primi, Riemann aveva bisogno di conoscere gli zeri della funzione zeta (ovvero i punti in cui essa si annulla). Senza fornire una dimostrazione valida, egli affermò che essa si annulla solo quando x.vale 1/2. Una gran quantità di calcoli ha dimostrato che la congettura di Riemann era corretta senza eccezioni per il primo miliardo di zeri, ma nessuno è mai riuscito a darne una sia pur vaga dimostrazione. Se la congettura fosse esatta si potrebbero dimostrare moltissime interessanti proprietà dei numeri primi. I valori di y per cui la funzione zeta si annulla formano un insieme numerico molto simile allo spettro energetico di un atomo. Proprio come si può studiare la distribuzione dei livelli energetici dello spettro, così si può studiare la distribuzione degli zeri della funzione zeta. Qui i numeri primi svolgono lo stesso ruolo delle orbite classiche chiuse dell'atomo di idrogeno in un campo magnetico: essi indicano alcune correlazioni nascoste fra gli zeri della funzione zeta. Nel problema della diffusione gli zeri della funzione zeta individuano i valori della quantità di moto per i quali il ritardo temporale varia sensibilmente. Il caos della funzione zeta di Riemann è particolarmente evidente in un teorema è stato dimostrato solo di recente: la funzione zeta approssima localmente qualunque funzione continua e derivabile. Questo teorema sembra indicare che la funzione zeta potrebbe descrivere tutti i comportamenti caotici è un sistema quantistico può manifestare. Se fosse possibile maneggiare con più disinvoltura gli strumenti matematici della meccanica quantistica, si potrebbero scoprire molti esempi di fenomeni localmente regolari, ma globalmente caotici.
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